推理与证明学案36基本不等式及其应用《高中数学第一轮复习导学案》.docVIP

学案36　基本不等式及其应用 导学目标： 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 自主梳理 1．基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2) (1)基本不等式成立的条件：____________. (2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥________ (a，b∈R)． (2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥____(a，b同号)． (3)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2 (a，b∈R)． (4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2____eq \f(a2＋b2,2). 3．算术平均数与几何平均数 设a0，b0，则a，b的算术平均数为________，几何平均数为________，基本不等式可叙述为：________________________________________________. 4．利用基本不等式求最值问题 已知x0，y0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当________时，x＋y有最____值是________(简记：积定和最小)． (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当________时，xy有最____值是__________(简记：和定积最大)． 自我检测 1．“ab0”是“abeq \f(a2＋b2,2)”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．(2011·南平月考)已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，a、b∈(0，＋∞)，A＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，B＝f(eq \r(ab))，C＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b)))，则A、B、C的大小关系是(　　) A．A≤B≤C B．A≤C≤B C．B≤C≤A D．C≤B≤A 3．下列函数中，最小值为4的函数是(　　) A．y＝x＋eq \f(4,x) B．y＝sin x＋eq \f(4,sin x)(0xπ) C．y＝ex＋4e－x D．y＝log3x＋logx81 4．(2011·大连月考)设函数f(x)＝2x＋eq \f(1,x)－1(x0)，则f(x)有最________值为________． 5．(2010·山东)若对任意x0，eq \f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则a的取值范围为________________． 探究点一　利用基本不等式求最值 例1　(1)已知x0，y0，且eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，求x＋y的最小值； (2)已知xeq \f(5,4)，求函数y＝4x－2＋eq \f(1,4x－5)的最大值； (3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值． 变式迁移1　(2011·重庆)已知a0，b0，a＋b＝2，则y＝eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)的最小值是(　　) A.eq \f(7,2) B．4 C.eq \f(9,2) D．5 探究点二　基本不等式在证明不等式中的应用 例2　已知a0，b0，a＋b＝1，求证：(1＋eq \f(1,a))(1＋eq \f(1,b))≥9. 变式迁移2　已知x0，y0，z0. 求证：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＋\f(z,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)＋\f(z,y)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,z)＋\f(y,z)))≥8. 探究点三　基本不等式的实际应用 例3　(2011·镇江模拟)某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)． (1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式； (2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？ (注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝eq \f(购地总费用,建筑总面积)) 变式迁移3　(2011·广州月考)某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年