推理与证明学案39数学归纳法《高中数学第一轮复习导学案》.docVIP

学案39　数学归纳法 导学目标： 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 自主梳理 1．归纳法 由一系列有限的特殊事例得出________的推理方法叫归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为____归纳法和________归纳法． 2．数学归纳法 设{Pn}是一个与正整数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题________(或________)成立；(2)在假设______成立的前提下，推出________也成立，那么可以断定{Pn}对一切正整数成立． 3．数学归纳法证题的步骤 (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值__________时命题成立． (2)(归纳递推)假设______________________________时命题成立，证明当________时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立． 自我检测 1．用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝eq \f(1－an＋2,1－a) (a≠1)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为(　　) A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 2．如果命题P(n)对于n＝k (k∈N*)时成立，则它对n＝k＋2也成立，又若P(n)对于n＝2时成立，则下列结论正确的是(　　) A．P(n)对所有正整数n成立 B．P(n)对所有正偶数n成立 C．P(n)对所有正奇数n成立 D．P(n)对所有大于1的正整数n成立 3．(2011·台州月考)证明eq \f(n＋2,2)1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2n)n＋1(n1)，当n＝2时，中间式子等于(　　) A．1 B．1＋eq \f(1,2) C．1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3) D．1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4) 4．用数学归纳法证明“2nn2＋1对于nn0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　) A．2 B．3 C．5 D． 5．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3 (n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开(　　) A．(k＋3)3 B．(k＋2)3 C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3 探究点一　用数学归纳法证明等式 例1　对于n∈N*，用数学归纳法证明： 1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1＝eq \f(1,6)n(n＋1)(n＋2)． 变式迁移1　(2011·金华月考)用数学归纳法证明： 对任意的n∈N*,1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2n－1)－eq \f(1,2n)＝eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋…＋eq \f(1,2n). 探究点二　用数学归纳法证明不等式 例2　用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,5)))…eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2n－1)))eq \f(\r(2n＋1),2)均成立． 变式迁移2　已知m为正整数，用数学归纳法证明：当x－1时，(1＋x)m≥1＋mx. 探究点三　用数学归纳法证明整除问题 例3　用数学归纳法证明：当n∈N*时，an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除． 变式迁移3　用数学归纳法证明：当n为正整数时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除． 从特殊到一般的思想 例　(14分)已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2、a5是方程x2－12x＋27＝0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝1－eq \f(1,2)bn. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式； (2)设数列{an}的前n项和为Sn，试比较eq \f(1,bn)与Sn＋1的大小，并说明理由． 【答题模板】 解　(1)由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＋a5＝12,a2a5＝27))，又∵{an}的公差大于0， ∴a5a2，∴a2＝3，a5＝9.∴d＝eq \f(a5－a2,3)＝eq \f(9－3,3)＝2，a1＝1， ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.[2分] ∵Tn＝1－eq \f(1,2)bn，∴b1＝eq \f(2,3)，当n≥2时，Tn－1＝1－eq \f(1