双曲线题型归纳含答案.docx

2 2 例1设P是双曲线笃 a 二、典型例题选讲 （一）考查双曲线的概念 2 —=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为 3x—2y =0, F1、F2 9 分别是双曲线的左、右焦点?若  | PFi |=3，则 |PF2 ( C. 7D. 9a的值，利用双曲线的定义求出 TOC \o 1-5 \h \z A. 1 C. 7 D. 9 a的值，利用双曲线的定义求出 分析：根据标准方程写出渐近线方程，两个方程对比求出 | PF2 |的值. \o Current Document 2 2 解：；双曲线 务-丄 1渐近线方程为y=_2x，由已知渐近线为3x-2y=0, a 9 a a = _2,. ||PFi| -|PF2|| = 4 , |PF? |二 _4 | PF“ |. ；］PF1| = 3, |PF2| 0 , IPF2 ^7. 故选C. 归纳小结：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法. （二）基本量求解 例2（2009山东理） 例2（2009山东理）设双曲线 2 x ~~2 a 2 卑=1的一条渐近线与抛物线 b2 y = x2 ? 1只有一个公共 则双曲线的离心率为（ ,5 2 解析：双曲线2x2a2 解析：双曲线 2 x 2 a 2y_b2 -1的一条渐近线为 K 二一X，由方程组 a b v x a ，消去y,得 y = x2 1 x2-一x V = 0有唯一解，所以△ =(—)2 -4 = 0 , a x2 所以-=2ac Ja2 所以-=2 a c Ja2 +b2 e = a 2 i ( 5，故选D. 归纳小结：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念， 以及直线与抛物线的位置关 系，只有一个公共点，则解方程组有唯一解. 本题较好地考查了基本概念、 基本方法和基本技能. 系， 2 2 例3 （2009全国I理）设双曲线-x^ V2 = 1 （a 0, b 0）的渐近线与抛物线 y=x?+1相切, a b 则该双曲线的离心率等于 （） A.、、3 A.、、3 B.2 C. ,5 D. 解析：设切点P（x 解析：设切点P（x0,y0），则切线的斜率为 Vo y |xk= 2xo ?由题意有 —= 2xo ?又有 Xo 2yo = 2 yo = xo 1，联立两式解得 2 Xo P=2,e = Jl+(b)2 =亦. a ■- a 因此选c. 2 2 例4 （2oo9江西）设R和F2为双曲线 笃-每=1（a o,b ■ o）的两个焦点，若 ％ F2 ,a b P（o,2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ 解析：由tan 6 = 2b 解析：由tan 6 = 2b D. 3 C. 3 =2，故选B . a 归纳小结：注意等边三角形及双曲线的几何特征， 从而得出tan C 3 ,体现数形结 6 2b 3 合思想的应用. （三）求曲线的方程 2 2 _ 例5 （2oo9，北京）已知双曲线C:笃-笃=1（a o,b o）的离心率为.3，右准线方程 a b （1）求双曲线C的方程; （2）已知直线X-y，m=o与双曲线 C交于不同的两点 A, B，且线段 AB的中点在圆 x2 y2 =5上，求m的值. 分析：(1 )由已知条件列出a,b,c的关系，求出双曲线 C的方程；(2)将直线与双曲线方程 联立，再由中点坐标公式及点在圆上求出 m的值. a2乜 I = 解：(1)由题意，得 c 3，解得a =1,c = ...3. |^/3a 2 二b2二c2-a2=2 ,???所求双曲线 C的方程为x2-* 1 . 2 (2)设A、B两点的坐标分别为 xi, y1 , x2,y2，线段AB的中点为M x0, y0 , 2 |x2 丄 y 由* 2 得 x2—2mx — m2-2 =0 (判别式△ 0), \X + y + m = 0 x1 +x2 丄 c ? X。 - 一二 m, yo =x° m =2m , 2 ???点 M xo, yo 在圆 x2 y2 =5上， 2 2 ?- m 2m 5, ? m = 1. 由2，两式相减得另解：设A、B两点的坐标分别为 羽，比，X2,y2，线段AB的中点为M xo,y。, 由 2 ，两式相减得 1 (x1 x/xrx2)-? y2)(y1-y2)9 由直线的斜率为1, xo=7,yo= 3 代入上式，得 yo=2x°. 由直线的斜率为 2 2 2 2 又M(y°,x°)在圆上，得y。 xo -5，又M(y°,x°)在直线上，可求得 m的值. 归纳小结：本题主要考查双曲线的标准方程、 圆的切线方程等基础知识， 考查曲线和方程的 关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力. x2 y2 例6过M (1,1)的直线交双曲线 1于a, B两点，