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第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
[考纲传真] 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1,eq \f(sin α,cos α)=tan α.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出eq \f(π,2)±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
(对应学生用书第41页)
[基础知识填充]
1.同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系:sin2α+cos2α=1;
(2)商数关系:tan α=eq \f(sin α,cos α).
2.诱导公式
组序
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+
α(k∈Z)
π+α
-α
π-α
eq \f(π,2)-α
eq \f(π,2)+α
正弦
sin α
-sin α
-sin α
sin α
cos α
cos_α
余弦
cos α
-cos α
cos α
-cos_α
sin α
-sin α
正切
tan α
tan α
-tan α
-tan_α
口诀
函数名不变,符号看象限
函数名改变符号看象限
[知识拓展]
同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α.
(2)sin2α=1-cos2α=(1+cos α)(1-cos α).
(3)cos2α=1-sin2α=(1+sin α)(1-sin α).
(4)sin α=tan αcos α.
[基本能力自测]
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若α,β为锐角,则sin2α+cos2β=1.( )
(2)若α∈R,则tan α=eq \f(sin α,cos α)恒成立.( )
(3)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角.( )
(4)若sin(kπ-α)=eq \f(1,3)(k∈Z),则sin α=eq \f(1,3).( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2.(教材改编)已知α是第二象限角,sin α=eq \f(5,13),则cos α等于( )
A.-eq \f(5,13) B.-eq \f(12,13)
C.eq \f(5,13) D.eq \f(12,13)
B [∵sin α=eq \f(5,13),α是第二象限角,
∴cos α=-eq \r(,1-sin2α)=-eq \f(12,13).]
3.(2017·陕西质检(二))若tan α=eq \f(1,2),则sin4α-cos4α的值为( )
A.-eq \f(1,5) B.-eq \f(3,5)
C.eq \f(1,5) D.eq \f(3,5)
B [sin4α-cos4α=(sin2α-cos2α)(sin2α+cos2α)=eq \f(sin2α-cos2α,sin2α+cos2α)=eq \f(tan2α-1,tan2α+1)=-eq \f(3,5),故选B.]
4.(2016·四川高考)sin 750°=________.
eq \f(1,2) [sin 750°=sin(750°-360°×2)=sin 30°=eq \f(1,2).]
5.已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)+α))=eq \f(3,5),α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),则sin(π+α)=________.
-eq \f(4,5) [因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)+α))=cos α=eq \f(3,5),α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),所以sin α=eq \r(,1-cos2α)=eq \f(4,5),所以sin(π+α)=-sin α=-eq \f(4,5).]
(对应学生用书第41页)
同角三角函数基本关系式的应用
(1)(2016·全国卷Ⅲ)若tan α=eq \f(3,4),则cos2α+2sin 2α=( )
A.eq \f(64,25) B.eq \f(48,25)
C.1 D.eq \f(16,25)
(2)(2018·宁德模拟)已知α为第二象限角,sin α+cos α=eq \f(\r(3),3),则cos 2α=________. 【导学号
(1)A (2) -eq \f(\r(5),3) [(1)∵tan α=eq \f(3,4),则cos2α+2sin 2α=eq \f(cos2α+4sin αcos α,sin2α+cos2α)=eq \f(1+
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