高考数学（苏教版，理）一轮配套文档：第6章 6.3 等比数列及其前n项和.DOCVIP

§6.3　 等比数列及其前n项和 1.等比数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母__q__表示. 2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1. 3.等比中项 若G2＝a·b_(ab≠0)，那么G叫做a与b的等比中项. 4.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*). (2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an. (3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq \o\al(2,n)}，{an·bn}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))仍是等比数列. 5.等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn， 当q＝1时，Sn＝na1； 当q≠1时，Sn＝eq \f(a1?1－qn?,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q). 6.等比数列前n项和的性质 公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__. 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列. (　×　) (2)G为a，b的等比中项?G2＝ab. (　×　) (3)如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列. (　×　) (4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列. (　×　) (5)若{an}是等比数列，则S1·S2·…·Sk＝0(k≥2，k∈N)的充要条件是an＋an＋1＝0. (　√　) (6)设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则Y(Y－X)＝X(Z－X)恒成立. (　√　) 2.(2013·江西改编)等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于________. 答案　－24 解析　由x,3x＋3,6x＋6成等比数列得，(3x＋3)2＝x(6x＋6). 解得x1＝－3或x2＝－1(不合题意，舍去). 故数列的第四项为－24. 3.(2012·课标全国改编)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝ 答案　－7 解析　方法一　由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a4＋a7＝a1q3＋a1q6＝2，,a5a6＝a1q4×a1q5＝a\o\al(2,1)q9＝－8，)) ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(q3＝－2，,a1＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(q3＝－\f(1,2)，,a1＝－8，))∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7. 方法二　由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a4＋a7＝2，,a5a6＝a4a7＝－8))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a4＝－2，,a7＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a4＝4，,a7＝－2.)) ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(q3＝－2，,a1＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(q3＝－\f(1,2)，,a1＝－8，)) ∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7. 4.(2013·北京)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________. 答案　2　2n＋1－2 解析　设等比数列的公比为q，由a2＋a4＝20，a3＋a5＝40. 得20q＝40，且a1q＋a1q3＝20，解之得q＝2，且a1＝2. 因此Sn＝eq \f(a1?1－qn?,1－q)＝2n＋1－2. 5.(2012·辽宁)已知等比数列{an}为递增数列，且aeq \o\al(2,5)＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________. 答案　2n 解析　先判断数列的项是正数，再求出公比和首项.aeq \o\al(2,5)＝a100，根据已知条件得2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,q)＋q))＝5，