数学破题36计 第33计 导数开门 腾龙起凤.docVIP

数学破题36计第33计 导数开门 数学破题36计 ●计名释义 导数蕴涵着丰富的数学思想和数学文化，它不仅是数学解题的工具，又是一种先进的思维取向. 近年高考对导数加大了力度，不仅体现在解题工具上，更着力于思维取向的考查.导数，她像是一条腾跃的龙和开屏的凤，潜移默化地改变着我们思考问题的习惯.数学思想的引领，辨证思想的渗透，帮助着我们确立科学的思维取向. ●典例示范 【例1】 （2005年北京卷）过原点作曲线y=ex的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 . 【分析】 本题中没有给出切线方程，而要我们求切点坐标和切线斜率，似乎太难为我们考生了.但如果想到导数的几何意义，我们不妨一试. 【解答】 对于未给定切点的要先求导数，即y′=（ex）′. 设切点为(x0，e)，y′=ex，yx= x=e. 则切线方程为y-e=e(x-x0), ∵切线过（0，0）点，0－e=e(0-x0)，∴x0=1，∴e=e,∴切点坐标为（1，e),切线斜率为e. 【点评】 求导既是一种解题方法，又是一种思维取向，故要求我们将方法与思维并存，表里合一，协调匹配. 【例2】 若函数f (x)=loga（x3-ax) （a0,a≠1)在区间(，0)内单调递增，则a的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【解答】 B 设u=x3-ax，则u′=3x2-a. 当a1时，f (x)在上单调递增，必须u′=3x2-a0，即a3x2在上恒成立.又03x2，∴a≤0，这与a1矛盾. 当0a1时，f (x)在上单调递增，必须u′=3x2-a0，即a3x2在上恒成立， ∴a≥且（-）3 -a (-)0，即a,故有≤a1,故正确答案为B. 【点评】 此题是对数型复合函数，因真数含立方，故宜用导数解决. 【例3】 已知a∈R，讨论函数f (x)=ex(x2+ax+a+1)的极值点的个数. 【解答】 f′(x)=ex(x2+ax+a+1)+ex(2x+a)=ex［x2+(a+2)x+(2a+1)］. 令f′（x)＝0得x2+(a+2)x+(2a+1)=0. (1)当Δ=(a+2)2-4(2a+1)=a2-4a=a(a 即a0或a4时，方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0. 有两个不同实根x1，x2，不妨设x1x2 f′(x)=ex(x-x1)(x-x2). 从而有下表： x （-∞，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，+∞） fˊ(x) + 0 - 0 + f (x) ↗ f (x1)为极大值 ↘ f (x2)为极小值 ↗ 即此时f (x)有两个极值点. (2)当在Δ=0，即a=0或a= 4时，方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有两个相同的实根x1=x2 f′(x)=ex(x-x1)2. 故当xx1时，f′(x)0；当xx2时，f′(x)0.因此f (x)无极值. (3)当Δ0，即0a4时，x2+(a+2)x+(2a+1)0，f′(x)=ex［x2+(a+2)x+(2a+1)］0，故f (x)为增函数，此时f (x)无极值.因此 当a4或a0时，f (x)有2个极值点，当0≤a≤4时，f (x 【点评】 此题虽不是求极值，但确定极值点个数实际上还是考查极值，解答时最好列表分析，便于确定极值点的个数. ●对应训练 1.已知函数f (x)=的图象在点M（-1，f (-1))处的切线方程为x+2y+5=0. (1)求函数y=f (x)的解析式； （2）求函数y=f (x)的单调区间. 2.已知函数f (x)=，x∈［0，1］. (Ⅰ)求f (x)的单调区间和值域； （Ⅱ）设a≥1，函数g (x)=x3-3a2x-2a，x∈［0，1］.若对于任意x1∈［0,1］，总存在x0∈［0,1］,使得g (x)=f (x1)成立，求a 3.已知a≥0，函数f (x)=(x2-2ax)ex. (Ⅰ)当x为何值时，f x)取得最小值？证明你的结论； （Ⅱ）设f (x)在［－1，1］上是单调函数，求a的取值范围. ●参考答案 1.分析：由已知导出f (-1)=-2，结合f′(-1)= -，易求出a、b的值. 解析:(1)由函数f (x)的图象在点M(-1，f (-1))处的切线方程为x+2y+5=0，知-1+2f (-1)+5=0，即f (-1)=-2，f