推理与证明、复数§13 (5).DOCVIP

§13.5　复　数 2014高考会这样考　1.考查复数的基本概念，复数相等的条件；2.考查复数的代数形式的运算，复数的几何意义． 复习备考要这样做　1.复习时要理解复数的相关概念如实部、虚部、纯虚数、共轭复数等，以及复数的几何意义；2.要把复数的基本运算作为复习的重点，尤其是复数的四则运算与共轭复数的性质等．因考题较容易，所以重在练基础． 1． 复数的有关概念 (1)复数的概念 形如a＋bi (a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数． (2)复数相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (4)复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数． (5)复数的模 向量eq \o(OZ,\s\up6(→))的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作__|z|__或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2). 2． 复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq \o(OZ,\s\up6(→)). 3． 复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di (a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(?a＋bi??c－di?,?c＋di??c－di?) ＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)． (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． [难点正本　疑点清源] 1． 对于复数z＝a＋bi必须满足a、b均为实数，才能得出实部为a，虚部为b.对于复数相等必须先化为代数形式才能比较实部与虚部． 2． 复数问题的实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方法，其依据是复数相等的充要条件和复数的模的运算及性质． 1． i是虚数单位，则eq \f(1,1＋i)＋i＝________. 答案　eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)i 解析　eq \f(1,1＋i)＋i＝eq \f(1－i,2)＋i＝eq \f(1＋i,2)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)i. 2． 若复数(1＋i)(1＋ai)是纯虚数，则实数a＝________. 答案　1 解析　由(1＋i)(1＋ai)＝(1－a)＋(a＋1)i是纯虚数得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－a＝0,1＋a≠0))，由此解得a＝1. 3． 复数(3＋4i)i(其中i为虚数单位)在复平面上对应的点位于 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　B 解析　由于(3＋4i)i＝－4＋3i，因此该复数在复平面上对应的点的坐标是(－4,3)，相对应的点位于第二象限，选B. 4． (2011·浙江)把复数z的共轭复数记作eq \x\to(z)，i为虚数单位．若z＝1＋i，则(1＋z)·eq \x\to(z)等于(　　) A．3－i B．3＋i C．1＋3i D．3 答案　A 解析　(1＋z)·eq \x\to(z)＝(2＋i)·(1－i)＝3－i. 5． (2012·北京)设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　当a＝0，且b＝0时，a＋bi不是纯虚数；若a＋bi是纯虚数，则a＝0. 故“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件. 题型一　复数的概念 例1　(1)已知a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若eq \f(z1,z2)为纯虚数，则复数eq \f(z1,z2)的虚部为(　　) A．1 B．i C.eq \f(2,5) D．0 (2)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z