线性规划、计数原理与二项式定理.docVIP

第三讲　不等式、线性规划、计数原理与二项式定理 研热点（聚焦突破） 类型一 不等式的性质与解法 1．不等式的同向可加性 2．不等式的同向可乘性 3．不等式的解法 一元二次不等式ax2＋bx＋c0(或0)．若Δ0，其解集可简记为：同号两根之外，异号两根之间． [例1]　(1)(2012年高考湖南卷)设ab1，c0，给出下列三个结论： ① ；②acbc；③logb(a－c)loga(b－c)． 其中所有的正确结论的序号是(　　) A．①　　　　　 B．①② C．②③ D．①②③ (2)(2012年高考江苏卷)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________． [解析]　(1)根据不等式的性质构造函数求解． ∵ab1，∴ . 又c0，∴ ，故①正确． 构造函数y＝xc. ∵c0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是减函数． 又ab1，∴acbc，故②正确． ∵ab1，－c0，∴a－cb－c1. ∵ab1， ∴logb(a－c)loga(a－c)loga(b－c)， 即logb(a－c)loga(b－c)，故③正确． (2)通过值域求a，b的关系是关键． 由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝(x＋eq \f(a,2))2＋b－eq \f(a2,4). ∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－eq \f(a2,4)＝0，即b＝eq \f(a2,4). ∴f(x)＝(x＋eq \f(a,2))2. 又∵f(x)c，∴(x＋eq \f(a,2))2c， 即－eq \f(a,2)－eq \r(c)x－eq \f(a,2)＋eq \r(c). ∴ 解得 ， ∴ [答案]　(1)D　(2)9 跟踪训练 (2012年高考福建卷)已知关于x的不等式x2－ax＋2a0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________． 解析：利用“三个二次”之间的关系． ∵x2－ax＋2a0在R上恒成立， ∴Δ＝a2－4×2a0， ∴0a8. 答案：(0，8) 类型二 线性规划 求目标函数最值的一般步骤 (1)作出可行域； (2)借助图形确定函数最值的取值位置，并求最值． [例2]　(2012年高考课标全国卷)已知正三角形ABC的顶点A(1，1)，B(1，3)，顶点C在第一象限，若点(x，y)在△ABC内部，则z＝－x＋y的取值范围是(　　) A．(1－，2) B．(0，2) C．(－1，2) D．(0，1＋) [解析]　利用线性规划知识，求解目标函数的取值范围． 如图， 根据题意得C(1＋，2)． 作直线－x＋y＝0，并向左上或右下平移， 过点B(1，3)和C(1＋，2)时，z＝－x＋y取范围的边界值， 即－(1＋)＋2z－1＋3，∴1－z2. ∴z＝－x＋y的取值范围是(1－，2)． [答案]　A 跟踪训练 (2012年泰安高三模考)设变量x，y满足约束条件，则z＝的取值范围是(　　) A．[0，4] B．[，5] C．[，6] D．[2，10] 解析：表示过点(x，y)与点(－1，－1)的直线的斜率． 根据题意，作出可行域，如图所示， 由图知的最小值是，最大值是，故选B. 答案：B 类型三 均值不等式的应用 1. （R） 2. （R） 3. （R） 4. （R） [例3]　(2012年高考浙江卷)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是(　　) A. B. C．5 D．6 [解析]　将已知条件进行转化，利用基本不等式求解． ∵x0，y0，由x＋3y＝5xy得eq \f(1,5)(eq \f(1,y)＋eq \f(3,x))＝1. ∴3x＋4y＝eq \f(1,5)(3x＋4y)(eq \f(1,y)＋eq \f(3,x))＝eq \f(1,5)(eq \f(3x,y)＋4＋9＋eq \f(12y,x)) ＝eq \f(13,5)＋eq \f(1,5)(eq \f(3x,y)＋eq \f(12y,x))≥eq \f(13,5)＋eq \f(1,5)×2eq \r(\f(3x,y)·\f(12y,x))＝5 (当且仅当x＝2y时取等号)，∴3x＋4y的最小值为5. [答案]　C 跟踪训练 已知x0，y0，若m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．m≥4或m≤－2 B．m≥2或m≤－4 C．－2m4 D．－4m2 解