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一、问题的提出
i i
在不等精度直接测量时, 由各测量值 x 及其 σ 计算加权算术平均值 的
时,有两个计算公式
式中 : pi ——各测量值的权; σi ——各测量值的 标准差 ; σ——单位权 标准
差 ; ——加权 算术平均值的 标准差 。
但这两个公式的计算结果有时会相差很大。 那么,在这种情况下, 采用哪个
公式更为合理呢本文对此从公式的推导到公式的选用进行探讨, 并给出了一般性
的原则。
二、公式的数学推导
在不等精度测量时,各测量值的权的定义式为 :
测量结果的最佳估计值为 :
则测量结果的不确定度评定为 :
对式 (5) 求方差有
x x
设各测量值 i 的方差都存在,且已知分别为 ,即 D( i )=
2
σ p
由(4) 式有 = / i
从公式 (1) 的推导,我们可以看出,此时各测量值的方差 ( 或标准差 ) 必须是
已知的。而在实际测量中, 常常各测量值的方差 ( 或标准差 ) 是未知的, 无法直接
应用公式 (1) 进行不确定度评定。但是,从分析来看,如果能由各测量值的残差 ( 其
权等于测量值的权 ) 求出单位权 标准差 的估计值,并将其代入公式 (1) 中,就可计
算出加权算术平均值 标准差 的估计值。为此,作如下推导 :
ν x i n
由残差 i = i - =1,2,……
ν
对 i 单位权化
由于 vi 的权都相等,因而可设为 1,故用 vi 代替贝塞尔公式中的
νi 可得单位权 标准差 的估计值
将此式代入公式 (1) ,即得到加权算术平均值 标准差 的估计值
从上面的推导我们可以看出,公式 (1) 是在各测量值的 标准差 已知时计
算出的不等精度测量结果的不确定度的准确值;而公式 (2) 是在各测量值的 标准
差 未知时计算出的不等精度测量结果的不确定度的估计值。 从概率论与数理统计
知识可知,只有在 n→∞时,其单位权 标准差 的估计值才能等于单位权的 标准差 ,
而由于测量次数的有限性 和随机抽样取值的分散性, 这两者是不相等的, 所以由
公式 (1) 和公式 (2) 确定的不确定度的值是也不相同的。
三、公式选用的一般原则
笔者用了较大的篇幅来进行公式的数学推导, 主要是为了说明这两个公
式推导的前提是不一样的,其应用当然也就不同。我们分两种情况来进行讨论。
1. 各测量值的 标准差 未知时
显然,在这种情况下, 由于其测量值的权是由其他方法得到的, 而各测
量值的 标准差 未知,无法应用公式 (1) 来进行不确定度评定,而只能用公式 (2) 。
2. 各测量值的 标准差 已
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