2.3等差数列求和第2课时.pptVIP

2、3 等差数列的前n项和的性质 第2课时 * 1.能够利用等差数列的前n项和公式解决有关等差数列的实际问题；（重点） 2.能够利用函数与数列的前n项和公式解决有关等差数列的实际问题．（难点） * 1.等差数列前n项和Sn公式的推导 2.等差数列前n项和Sn公式： an=a1+(n-1)d 说明：两个等差数列的求和公式及通项公式，一共涉及到5个量，通常已知其中3个，可求另外2个。 -----倒序相加法 1.将等差数列前n项和公式 看作是一个关于n的函数，这个函数 有什么特点？ 当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数 则 Sn=An2+Bn 令 探究（一） 例1. 已知数列{an}的前n项和为 求这个数列的通项公式. 这个数列 是等差数列吗?如果是，它的首项 与公差分别是什么? 例题讲解 一般地，如果一个数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn+r，其中p、q、r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？ 分析：∵当n>1时， 当n=1时，a1=S1=p+q+r， 又∵当n=1时，a1=2p-p+q=p+q， ∴当且仅当r=0时，a1满足an=2pn-p+q. an=Sn-Sn-1 =pn2+qn+r-p(n-1)2-q(n-1)-r =2pn-p+q. * 探究（二） 数列{an}为等差数列 故只有当r=0时该数列才是等差数列，此时首项a1=p+q，公差d=2p(p≠0). * * 例2、已知等差数列 的 前n项和为Sn，求使得Sn最大的序号n的值. * 等差数列的前n项的最值问题 变式训练：已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值. 解法1 由S3=S11得 ∴ d=－2 ∴当n=7时,Sn取最大值49. 等差数列的前n项的最值问题 变式训练：已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值. 解法2 由S3=S11得 d=－2<0 ∴当n=7时,Sn取最大值49. 则Sn的图象如图所示 又S3=S11 所以图象的对称轴为 7 n 11 3 Sn 等差数列的前n项的最值问题 变式训练：已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值. 解法3 由S3=S11得 d=－2 ∴当n=7时,Sn取最大值49. ∴ an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15 由 得 ∴a7+a8=0 等差数列的前n项的最值问题 变式训练：已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值. 解法4 由S3=S11得 ∴当n=7时,Sn取最大值49. a4+a5+a6+……+a11=0 而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8 又d=－2<0,a1=13>0 ∴a7>0,a8<0 探究（三）求等差数列前n项的最值的方法： 方法1:由 利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值. 方法2:利用an的符号①当a1>0,d<0时,数列前面有若干项为正,此时所有正项的和为Sn的最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得.②当a1<0,d>0时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由an ≤0且an+1 ≥ 0求得.注意：当数列中有数值为0时，n应有两解. 1.在等差数列{an}中,已知S15=90,那么a8等于（ ） （A）3 （B）4 （C）6 （D）12 C * 2:已知数列{an}的通项为an=26-2n,要使此数列的前n项和最大,则n的值为( ) A.12 B.13 C.12或13 D.14 C 课后练习 课堂小结 当d≠0时，Sn是常数项为零的二次函数 1、对于一个等差数列{an}的前n项和而言 {an}是等差数列 Sn＝pn2＋qn. 2、 其二次项系数是公差的一半 3、求等差数列前n项的最大(小)值的方法 方法1:由 利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值. 方法2:利用an的符号①当a1>0,d<0时,数列前面有若干项为正,此时所有正项的和为Sn的最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得.②当a1<0,d>0时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由an ≤0且an+1 ≥ 0求得.注意：当数列中有数值为0时，n应有两解. * *