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最小生成树算法及应用 最小生成树算法及应用 最小生成树算法及应用 二、求图的最小生成树算法 严格来说，如果图G=（V，E）是一个连通的无向图，则把它的全部顶点V和一部分边E’构成一个子图G’，即G’=（V， E’），且边集E’能将图中所有顶点连通又不形成回路，则称子图G’是图G的一棵生成树。 对于带权连通图，生成树的权即为生成树中所有边上的权值总和，权值最小的生成树，称为图的最小生成树。 求图的最小生成树具有很高的实际应用价值，比如下面的这个例题。 最小生成树算法及应用 例1、城市公交网 [问题描述] 有一张城市地图，图中的顶点为城市，无向边代表两个城市间的连通关系，边上的权为在这两个城市之间修建高速公路的造价，研究后发现，这个地图有一个特点，即任一对城市都是连通的。现在的问题是，要修建若干高速公路把所有城市联系起来，问如何设计可使得工程的总造价最少。   [输入] n（城市数，1=n=100）； e（边数）； 以下e行，每行3个数i,j,wij，表示在城市i,j之间修建高速公路的造价。   [输出] n-1行，每行为两个城市的序号，表明这两个城市间建一条高速公路。 最小生成树算法及应用 [举例] 下面的图（A）表示一个5个城市的地图，图（B）、（C）是对图（A）分别进行深度优先遍历和广度优先遍历得到的一棵生成树，其权和分别为20和33，前者比后者好一些，但并不是最小生成树，最小生成树的权和为19。 [问题分析] 出发点：具有n个顶点的带权连通图，其对应的生成树有n-1条边！ 那么选哪n-1条边呢？ 设图G的度为n，G=（V，E） 我们介绍两种基于贪心的算法，Prim算法和Kruskal算法。 最小生成树算法及应用 1、用Prim算法求最小生成树的思想如下： ①设置一个顶点的集合S和一个边的集合TE，S和TE的初始状态均为空集； ②选定图中的一个顶点K，从K开始生成最小生成树，将K加入到集合S； ③重复下列操作，直到选取了n-1条边： 选取一条权值最小的边（X，Y），其中X∈S，not (Y∈S)； 将顶点Y加入集合S，边（X，Y）加入集合TE； ④得到最小生成树T =（S，TE） 。 如何证明Prim算法的正确性呢？提示：用反证法。 因为操作是沿着边进行的，所以数据结构宜采用边集数组表示法。 最小生成树算法及应用 ① 从文件中读入图的邻接矩阵g； ② 边集数组elist初始化； For i:=1 To n-1 Do Begin elist[i].fromv:=1；elist[i].endv:=i+1；elist[i].weight:=g[1,i+1]； End； ③ 求出最小生成树的n-1条边； For k:=1 To n-1 Do Begin min:=maxint；m:=k； For j:=k To n-1 Do {查找权值最小的一条边} If elist[j].weightmin Then Begin min:=elist[j].weight；m:=j；End； If mk Then Begin t:=elist[k]；elist[k]:=elist[m]；elist[m]:=t；End； {把权值最小的边调到第k个单元} j:=elist[k].endv； {j为新加入的顶点} For i:=k+1 To n-1 Do {修改未加入的边集} Begin s:=elist[i].endv； w:=g[j,s]； If welist[i].weight Then Begin elist[i].weight:=w；elist[i].fromv:=j；End； End； End； ④ 输出； ——Prim算法的实现 最小生成树算法及应用 2、用Kruskal算法求最小生成树的思想如下： 设最小生成树为T=（V，TE），设置边的集合TE的初始状态为空集。将图G中的边按权值从小到大排好序，然后从小的开始依次选取，若选取的边使生成树T不形成回路，则把它并入TE中，保留作为T的一条边；若选取的边使生成树形成回路，则将其舍弃；如此进行下去，直到TE中包含n-1条边为止。最后的T即为最小生成树。 如何证明呢？ 最小生成树算法及应用