线面角练习收拾整顿.doc

线面角的三种求法 1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常 是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要 的元素，它可以起到联系各线段的作用。 例 1 （ 如图 1 ）四面体 ABCS 中， SA,SB,SC 两两垂直，∠ SBA=45°, ∠ SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（ 1） BC 与平面 SAB 所成的角。 2）SC 与平面 ABC 所成的角。 C H B S M A  图 1 利用公式 sin θ =h／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h是 垂线段的长， ι 是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求 垂线段的长。 例 2 （如图2） 长方体 ABCD-A 1 1 1 D 1 , 1 A= 4 ，求 AB 与面 B C AB=3 ,BC=2, A AB 1C1D 所成的角。 D C 2 3 A B 4 H D1 C1 A 1 B1 图 2 利用公式 cosθ =cos θ1·cos θ2 （如图 3） 若 OA 为平面的一条斜线， O为斜足， OB 为 OA 在面 α内的射影， OC为面 A O B α内的一条直线，其中θ为 | á C OA与 OC所成的角， 图3 θ1 为OA 与 OB所成的角，即线面角，θ 2为 OB与OC所成的角，那么cosθ=cosθ 1 2 ·cos θ （同学们可自己证明） ，它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理） 例 3（如图 4） 已知直线  OA,OB,OC  两两所成的角为  60°, ，求直线  OA  与 面  OBC  所 成的角的余弦值。 A B | á O D C 图 4 一．课题： 直线和平面所成的角与二面角（ 1）—— 线面角 说明 ： 1．若 a ，则规定 a 与 所成的角是直角； 2．若 a // 或 a ，则规定 a 与 所成的角为 0 ； 3．直线和平面所成角的范围为： 0 90 ； 4．直线和平面所成角是直斜线与该平面内直线所成角的最小值（ coscos 1 cos 2 ）。 2．例题分析： AB 是平面 B 为斜足， AO ,O 为垂足， BC 为 例 1．如图，已知 的一条斜线， 内 的一条直线， ABC 60 , OBC 45 ，求斜线 AB 和平面 A 所成角。 O B C 例 2．如图，在正方体 AC 中，求面对角线 A B 与对角面 BB D D 所成的角。 1 1 1 1 D1 O C1 A1 B1 D C A B 例 3．已知空间四边形 ABCD 的各边及对角线相等，求 AC 与平面 BCD 所成角的余弦值。 解：过 A作 AO 平面 BCD 于点 O ，连接 CO,BO, DO ， A ∵ AB AC AD ，∴ O 是正三角形 BCD 的外心， 设四面体的边长为 a ，则 CO 3 a ， 3 C B O D ∵ AOC 90 ，∴ ACO 即为 AC 与平面 BCD 所成角， ∴ cos ACO 3 ，所以， AC 与平面 BCD 所成角的余弦值为 3 ． 3 3 五．课堂练习：课本第 45 页练习第 1，2， 3 题；第 47 页习题 9.7 的第 1 题。 六．小结： 1．线面角的概念； 2． cos cos 1 cos 2 及应用步骤： , 1 , 2 在图形中所表示的角。 七．作业：课本第 45 页练习第 4 题、第 47 页习题 9.7 的第 2题。 补充： 1 如图， PA 是平面 的斜线， BAC 在平面 内，且满足 BAC 90 ，又已知 PAB PAC 60 ，求 PA 和平面 所成的角。 2．如图，已知 PA 正方形 ABCD 所在平面，且 PC 24,PB PD 6 10，求 PC 和 平面 ABCD 所成的角。 P P A B D A C B C