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《振动力学》试题集含答案 《振动力学》试题集含答案 PAGE / NUMPAGES 《振动力学》试题集含答案 《振动力学》习题集（含答案） 质量为 m的质点由长度为 l 、质量为 m1 的均质细杆拘束在铅锤平面内作微幅摇动，如 图所示。求系统的固有频次。 l x m1 m 图 解： 系统的动能为： T 1 m xl 2 1 Ix2 2 2 此中 I 为杆对于铰点的转动惯量： l m1 2l m1 2 1 2 I l dx x l x dx m1l 0 0 3 则有： T 1 ml 2 x2 1 m1l 2 x2 1 3m m1 l 2 x2 2 6 6 系统的势能为： U mgl 1 cosx m1g l 1 cosx 2 1 mglx2 1 m1glx 2 1 2m m1 glx2 2 4 4 利用 x n x 和 T U 可得： n  3 2m m1 g 2 3m m1 l 质量为 m、半径为 R的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅转动，在 CA=a的 A 点系有 两根弹性刚度系数为 k 的水平弹簧，以下图。求系统的固有频次。 k A k a C R 图 解： 如图，令 为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为： T 1 I B 2 1 mR2 1 mR2 2 3 mR2 2 2 2 2 4 U 2 1 k R a 2 k R a 2 2 2 利用  n  和 T  U  可得： 4k R  a  2  R a  4k n 3mR2 R 3m 转动惯量为 J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为 k1 ， k2 和 k3 的轴拘束，以下图。求系 统的固有频次。 J k1 k2 图 解： 系统的动能为： 1 J 2 2 k2 和 k3 相当于串连，则有：  k3 2 3 , k2 2 k3 3 以上两式联立可得： 2 k3 , 3 k2 k3 k3 k2 k2 系统的势能为： U 1 k1 2 1 k2 22 1 k3 32 1 k1 k2 k3 k2k3 2 2 2 2 2 k2 k3 利用 n 和 T U 可得： n k2k3 k1 k2 k3 J k2 k3 在图所示的系统中，已知 ki i 1,2,3 , m, a 和 b ，横杆质量不计。求固有频次。 x1 k1 k 2 F1 b mg a a b b k3 m 图  a x0 b x2 x mg a F2 a mg b 答案图 解： 对 m进行受力剖析可得： mg k3 x3 mg ，即 x3 k3 如图可得： x1 F1 mgb , x2 F2 mga k1 k2 a b k2 a b k1 a x2 x1 a2k1 b2 k2 x0 x1 x x1 a b a b 2 k1k2 mg x x0 x3 a2k1 b2 k2 1 mg 1 mg a b 2 k1k2 k3 k0 则等效弹簧刚度为： 2 k1k2k3 ke a b 2k1k3 b2k2k3 2 a a b k1k2 则固有频次为： ke k1k2k3 a b 2 n m k1k2 a b 2 k3 k1a2 k2b2 m 质量 m1 在倾角为 的圆滑斜面上从高 h 处滑下无反弹碰撞质量 m2 ，以下图。确立 系统由此产生的自由振动。 m x12 1 m2 h x 2 k x0 x 图 答案图 解： 对 m1 由能量守恒可得（此中 v1 的方向为沿斜面向下） ： m1 gh 1 m1v12 ，即 v1 2 gh 2 对整个系统由动量守恒可得： m1v1 m1 m2 v0 ，即 v0 m1 2gh m2 m1 令 m2 惹起的静变形为 x2 ，则有： m2 g sin m2 g sin kx2 ，即 x2 k 令 m1 + m2 惹起的静变形为 x12 ，同理有： m1 m2 g sin x12 k 得： x0 x12 m1 g sin x2 k 则系统的自由振动可表示为： x x0 cos n t x0 sin nt n 此中系统的固有频次为： n  k m1 m2 注意到 v0 与 x 方向相反，得系统的自由振动为： x x0 cos n t v0 sin nt n 质量为 m、长为 l 的均质杆和弹簧 k 及阻尼器 c 组成振动系统， 以下图。 以杆偏角 为广义坐标， 成立系统的动力学方程， 给出存在自由振动的条件。 若在弹簧原优点立刻释手， 问杆的最大振幅是多少发生在何时最大角速度是多少发生在何时能否在过静均衡地点时 a O k  c k a c l 图 答案图 解： 利用动量矩定理得： I k a a