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第十讲 行列式的计算（2）
4.递推法
n D
递推法是指根据行列式的结构特点,找出所求 阶行列式 与其相应的低阶
n
行列式之间的递推关系,从而计算行列式.
D D D
通常是建立 与 的递推关系,逐步推下去,从而得出 的值.有时也可以
n n−1 n
D D D D
找到 , 以及 之间的递推关系式,最后利用 , 求出 的值.
n n−1 n−2 D1 D2 n
n
例1 计算 阶行列式
x −1 0 0 0
0 x −1 0 0
0 0 x 0 0
D .
n
0 0 0 x −1
a a a a x +a
n n−1 n−2 2 1
D
解 将 按第1列展开,得到
n
x −1 0 0 0 −1 0 0 0
0 x −1 0 0 x −1 0 0
Dn x Dn−1 +(−1)n+1an 0 x 0 0 ,
0 0 0 x −1
a a a a x +a 0 0 x −1
n−1 n−2 n−3 2 1
即 D xD =+a .
n n−1 n
这个式子对任意自然数 n(n 2) 都成立,例如,对低一阶的行列式 Dn−1 ,
类似有Dn−1 xDn−2 =+an−1 ,所以
D xD =+a
n n−1 n
x (xDn−2 =+an−1 ) +an
2
x D =+a x +a
n−2 n−1 n
n−1 n−2
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