数学必修三学习方略新教材人B完成8.2.3倍角公式.ppt

【加练·固】 1.化简 =________.? 【解析】原式= =2|cos 4|-2|sin 4+cos 4|, 因为π<4< , 所以cos 4<0,sin 4+cos 4<0. 所以原式=-2cos 4+2(sin 4+cos 4)=2sin 4. 答案:2sin 4 2.计算:tan 150°+ =________.? 【解析】原式= 答案:- 3.已知 则sin 4α的值 为________.? 【解析】因为 即cos 2α= .因为α∈ ,所以2α∈(π,2π). 所以sin 2α= 所以sin 4α=2sin 2αcos 2α=2× 答案:- 类型二　倍角公式的化简、证明问题 角度1　化简问题 【典例】化简: 【思维·引】 先切化弦,再利用倍角正弦、余弦公式化简. 【解析】原式= 角度2　恒等式证明问题 【典例】求证:cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos 2Acos 2B. 世纪金榜导学号 【思维·引】可考虑从左向右证的思路:先把左边降幂扩角,再用余弦的和、差角公式转化为右边形式. 【证明】左边= 所以等式成立. 【素养·探】 　本例考查三角恒等式的化简与证明,突出考查了逻辑推理的核心素养. 若本例改为: 求证: 【证明】左边= 故原式得证. 【类题·通】 1.三角函数式的化简原则 三角函数式的化简原则:一是统一角,二是统一函数名.能求值的求值,必要时切化弦,更易通分、约分. 2.证明三角恒等式的原则与步骤 (1)观察恒等式两端的结构形式,处理原则是从复杂到简单,高次降低,复角化单角,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想. (2)证明恒等式的一般步骤 ①先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异; ②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的. 【习练·破】 　求证: cos2θ(1-tan2θ)=cos 2θ. 【证明】方法一:左边=cos2θ =cos2θ-sin2θ=cos 2θ=右边.故原式得证. 方法二:右边=cos 2θ=cos2θ-sin2θ =cos2θ =cos2θ(1-tan2θ)=左边.故原式得证. 【加练·固】 　　 化简: ,其中θ∈(0,π). 【解析】原式= ①当θ∈ 此时原式=sin +cos -cos +sin =2sin . ②当θ∈ 此时原式=sin +cos -sin +cos =2cos . 　　8.2.3　倍 角 公 式　　 1.倍角公式 (1)sin 2α=2sin αcos α(S2α).? (2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α(C2α). (3)tan 2α=__________(T2α). 【思考】(1)所谓的“倍角”公式,就是角α与2α之间 的转化关系,对吗? 提示:不对.对于“倍角”应该广义地理解,如:8α是4α 的二倍角,3α是 α的倍角,α是 的倍角, 的 倍角,…,这里蕴含着换元思想.这就是说“倍”是相对 而言的,是描述两个数量之间关系的. (2)公式中的角α是任意角吗? 提示:对于公式S2α,C2α中的角α是任意角,但是T2α中的角α要保证tan α有意义且分母1-tan2α≠0. 2.倍角公式的变换 (1)因式分解变换 cos 2α=cos2α-sin2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α). (2)配方变换 1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α± cos α)2. (3)升幂缩角变换 1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α. (4)降幂扩角变换 cos2α= (1+cos 2α),sin2α= (1-cos 2α), sinαcos α= sin 2α. 【素养小测】 1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)倍角的正切公式的适用范围不是任意角. (　　) (2)对于任意的角α,都有sin 2α=2sin α成立. (　　) (3)存在角α,使cos 2α=2cos α成立. (　　) (4)cos 3αsin 3α= sin 6α对任意的角α都成立. (