第9讲 解析几何（解析版）-2022年新高考数学创新定义问题与情境（新高考地区专用）.docx

第9讲 解析几何 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”其中，，如图所示，其中点，，是相应椭圆的焦点．若是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为?  A. ，1 B. ，1 C. 5，3 D. 5，4 【答案】A 【解析】 【分析】 本题主要考查椭圆的概念，属于基础题．由题意可知，再由求得b，最后由求得 【解答】 解：，，，，得，故答案选： ?? 2.把与直线l垂直的向量称为直线l的法向量。设是直线l的一个方向向量，那么就是直线l的一个法向量。借助直线的法向量，我们可以方便地计算点到直线的距离。已知P是直线l外一点，是直线l的一个法向量，在直线l上任取一点Q，那么在法向量上的投影向量为为向量与的夹角，其模就是点P到直线l的距离d，即据此，请解决下面的问题：已知点，，，则点A到直线BC的距离是 A. B. 7 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查了直线方向向量和法向量的定义，运用向量法求点到直线的距离，属于基础题.先求出直线BC的方向向量，进而求出其法向量，再代入距离公式求解即可. 【解答】 解：因为，，，所以，则直线BC的法向量，又，所以点A到直线BC的距离故选 ?? 3.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C的面积为，，分别是C的两个焦点，过的直线交C于A，B两点，若的周长为8，则C的离心率为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查了新概念，椭圆的定义，属于基础题．由新定义可知a与b的等量关系，由的周长可知a的值，即可解出离心率． 【解答】 解：由题意可知：，解得，，又，，故选： ?? 4.若两个椭圆的离心率相同，则称此两个椭圆相似．已知椭圆的焦点在x轴上，与相似且过点，则此椭圆的长轴长为 A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了椭圆方程的求法，是基础题．求出已知椭圆的离心率为，设出椭圆方程，由椭圆的离心率为、椭圆过点及隐含条件联立方程组求得椭圆的长轴长． 【解答】 解：椭圆的离心率为，设所求椭圆方程为，则，椭圆过点，，又，解得，，故此椭圆的长轴长故选： ?? 5.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一如图给出下列三个结论： ①曲线C恰好经过6个整点即横、纵坐标均为整数的点； ②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过； ③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于 其中，所有正确结论的序号是 A. ① B. ② C. ①② D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查了曲线与方程，属于拔高题．将x换成方程不变，所以图形关于y轴对称，根据对称性讨论y轴右边的图形可得． 【解答】 解：将x换成方程不变，所以图形关于y轴对称，当时，代入得，，即曲线经过，，当时，方程变为，所以由，解得所以x只能取整数1，当时，，解得或，即曲线经过，，根据对称性可得曲线还经过，，故曲线一共经过6个整点，故①正确；当时，由得，当时取等，，，即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过，根据对称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过，故②正确；在x轴上方图形面积大于矩形面积，x轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积，因此曲线C所围成的“心形”区域的面积大于，故③错误，故选 ?? 6.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点设平面内曲线C上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转后得到点的轨迹是曲线，则原来曲线C的方程是 A. ?? B. ? ? ??C. ????? D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查了与双曲线有关的轨迹问题，属于基础题.先设出根据所给定义得到，再带入已知曲线方程即可得解. 【解答】 解：设平面内曲线C上的点，则其绕原点沿逆时针方向旋转后得到点，点在曲线上，，整理得故选 ?? 7.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为给出下列四个结论： ①曲线C有四条对称轴； ②曲线C上的点到原点的最大距离为； ③曲线C第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为； ④四叶草面积小于 其中，所有正确结论的序号是 A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查基本不等式、圆、曲线的性质，属于拔高题.利用基本不等式结合题中的已知条件对四个选项进行判断即可得答案； 【解答】 解：观察四叶草曲线的图形可知，曲线C有四条对称轴