专题一 面积问题1 - 求面积的大小（解析版）-2022届高考数学一轮复习专题一 圆锥曲线面积问题1.docx

专题一 面积问题1 - 求面积的大小 1．已知椭圆的离心率，且椭圆过点 （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与交于、两点，点在椭圆上，是坐标原点，若，判定四边形的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由. 【答案】（1）；（2）是定值，其定值为. （1）设椭圆的焦距为，由题意可得，解得，， 因此，椭圆的标准方程为； （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为或. 若直线的方程为，联立，可得， 此时，，四边形的面积为， 同理，当直线的方程为时，可求得四边形的面积也为； 当直线的斜率存在时，设直线方程是， 代人到，得， ，，， ， ， 点到直线的距离， 由，得，， 点在椭圆上，所以有，整理得， 由题意知，四边形为平行四边形， 平行四边形的面积为. 故四边形的面积是定值，其定值为. 2．已知定点，圆，点为圆上动点，线段的垂直平分线交于点，记的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点与作平行直线和，分别交曲线于点、和点、，求四边形面积的最大值. 【答案】（1）；（2）. （1）由中垂线的性质得，， 所以，动点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆， 设曲线的方程为，则，， 因此，曲线的方程为:； （2）由题意，可设的方程为， 联立方程得， 设、，则由根与系数关系有， 所以， 同理，与的距离为， 所以，四边形的面积为， 令，则，得， 由双勾函数的单调性可知，函数在上为增函数， 所以，函数在上为减函数， 当且仅当，即时，四边形的面积取最大值为. 3．已知椭圆：()的离心率为，且经过点. （1）求椭圆的方程. （2）过点的直线交椭圆于、两点，求(为原点)面积的最大值. 【答案】（1）；（2） （1）由得①， 由椭圆经过点得②， 联立①②，解得，， ∴椭圆的方程是； （2）由题意可知直线一定存在斜率，设其方程为， 联立消去得：， 则，得， 设、，则，， ∴， ∵， 设()，则， 当且仅当，即时等号成立，此时，可取， 此时面积取得最大值. 4．在平面中，已知椭圆过点，且离心率. （1）求椭圆的方程； （2）直线方程为，直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值. 【答案】（1）；（2）2. （1）因为椭圆过点，且离心率. 所以， 解得，，则， 所以椭圆方程为：. （2）设直线方程为，，、，， 联立方程组整理得：， 所以，， 由弦长公式得：， 点到的距离为. 所以. 当且仅当，即时取到最大值，最大值为：2. 5．在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为,直线被椭圆截得的线段长为. （1）求椭圆的方程； （2）过原点的直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），点在椭圆上，且，直线与轴轴分别交于两点. ①设直线斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值； ②求面积的最大值. 【答案】(1).(2) ①证明见解析，；②. 【解析】 试题分析：（1）首先由题意得到，即. 将代入可得， 由，可得.得解. （2）（ⅰ）注意从确定的表达式入手，探求使成立的. 设，则， 得到， 根据直线BD的方程为， 令，得，即.得到. 由，作出结论. （ⅱ）直线BD的方程， 从确定的面积表达式入手，应用基本不等式得解. 试题解析：（1）由题意知，可得. 椭圆C的方程可化简为. 将代入可得， 因此，可得. 因此， 所以椭圆C的方程为. （2）（ⅰ）设，则， 因为直线AB的斜率， 又，所以直线AD的斜率， 设直线AD的方程为， 由题意知， 由，可得. 所以， 因此， 由题意知， 所以， 所以直线BD的方程为， 令，得，即. 可得. 所以，即. 因此存在常数使得结论成立. （ⅱ）直线BD的方程， 令，得，即， 由（ⅰ）知， 可得的面积， 因为，当且仅当时等号成立， 此时S取得最大值， 所以的面积的最大值为. 6．已知椭圆的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点. （1）求椭圆M的标准方程； （2）直线l：与椭圆M相交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求面积的最大值. 【答案】（1）；（2）. （1）设椭圆的上下顶点为，，左焦点为， 则是正三角形，所以， 则椭圆方程为. 将代入椭圆方程，可得， 解得，，故椭圆的方程为. （2）由题意，设直线l的方程为，联立， 消去x得. 设，， 则有，， 因为以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点，所以， 由，，则， 将，代入上式， 并整理得， 则， 化简得，解得或， 因为直线不过点， 所以，故.所以直线恒过点. 故 ， 设， 则在上单调递增， 当时，， 所以面积的最大值为. 7．已知椭圆的离心率为，其短轴长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线，过椭圆右焦点的直线（不与轴重合）与椭圆相交于，两点，过点作，垂足为． ①求证：直线过定点，并求出定点的坐标； ②点为坐标原点，求面积的最大值． 【答案】