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高考数学专题突破:外接球模型
模板一:
h2
r2
R
4
一、题型描述
几何体的外接球问题:题目中涉及几何体外接球体,或者球内接几何体,再
或者说成球面上有几个点围成几何体,这类题型称之为几何体的外接球问题。
二、模法讲解
以下这幅图,大家应该都能看明白吧!一个底面半径为,高为的圆柱,求它的
外接球半径。
那么问题来了? 这个式子怎么来的。那么这个式子有何妙用?
h2
r2
R
4
1、如果我们对圆柱上下底面对应位置处,取相同数量的点,比如都取三个
点,如图所示:
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我们可以得到(直)三棱柱,它的外接球其实就是这个圆柱的外接球,所以说
直棱柱的外接球求半径符合这个模型。
在这里棱柱的高就是公式中h 的,而棱柱底面外接圆的半径则是公式中的r(至
于怎么求外接圆半径可以用正弦定理。
2、我们再继续进行,如果我把刚刚那个三棱柱上面的两点去掉,我将得到三
棱锥,如图:
这个三棱锥的特点是AA ⊥底面ABC,即有一根侧棱⊥底面的锥体,依然符合
1
这个模型。
那条竖直棱 就是公式中的 ,而底面 的外接圆半径是公式中的
AA1 h ABC
r。
3、题目还喜欢这么干:
面PAD 垂直面ABCD。它非常符合圆柱外接球模型!
我们知道,这里的 为 的外接圆半径, 为 或者 为的长。
r PAD h AB CD
接着看,当我对第二幅图中的三棱柱 只去掉 这个点,会
ABC-A1B1C1 C1
得到什么呢?
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没错!这就是刚刚那个四棱锥放倒了!它的特点是:底面ABAB⊥CAB侧面,
1 1
题的时候则不会这么仁慈,就会像上一幅图那样,有一个侧面⊥矩形底面的四
棱锥!
圆柱外接球模型——适用于:
①圆柱r,h 自带
②直棱柱r:底面外接圆半径;h:直棱柱的高
③一根侧棱⊥底面的锥体r:底面外接圆半径;h:垂直于底面的那条侧
棱
④一个侧面⊥矩形底面的四棱锥r:垂直底面的侧面的外接圆半径;h:
垂直于那个侧面的底边长
那么接下来第二步就是找到,求出,而又怎么求呢?用正弦定理。
可以说正弦定理求外接圆半径这种方法咱们基本上就在高一学的时候提及过,
根本就没用过它!告诉你,几乎整个高考也就此处求外接球题型可以用它来求
求那个了。讲解如图:
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2 2 2
模板二:R= (R-h)+r
先看以下这幅图:一个底面半径为 ,高为 的圆锥,求它的外接球半径。
r h
所以,你该明白今天讲解的模型公式就是: r2h2
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