《综合压轴题》（云南专用）2022年中考专练附答案.docx

专题18 综合压轴题 五年中考真题 五年中考真题 1．〔12分〕〔2021?云南〕抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点, 与y轴交于点C, 点A的坐标为〔﹣1, 0〕, 点C的坐标为〔0, ﹣3〕．点P为抛物线y＝x2+bx+c上的一个动点．过点P作PD⊥x轴于点D, 交直线BC于点E． 〔1〕求b、c的值； 〔2〕设点F在抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上, 当△ACF的周长最小时, 直接写出点F的坐标； 〔3〕在第一象限, 是否存在点P, 使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍？假设存在, 求出点P所有的坐标；假设不存在, 请说明理由． 【解答】解：〔1〕把A、C点的坐标代入抛物线的解析式得, , 解得, ； 〔2〕直线BC与抛物线的对称轴交于点F, 连接AF, 如图1, 此时, AF+CF＝BF+CF＝BC的值最小, ∵AC为定值, ∴此时△AFC的周长最小, 由〔1〕知, b＝﹣2, c＝﹣3, ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3, ∴对称轴为x＝1, 令y＝0, 得y＝x2﹣2x﹣3＝0, 解得, x＝﹣1, 或x＝3, ∴B〔3, 0〕, 令x＝0, 得y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3, ∴C〔0, ﹣3〕, 设直线BC的解析式为：y＝kx+b〔k≠0〕, 得 , 解得, , ∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3, 当x＝1时, y＝x﹣3＝﹣2, ∴F〔1, ﹣2〕； 〔3〕设P〔m, m2﹣2m﹣3〕〔m＞3〕, 过P作PH⊥BC于H, 过D作DG⊥BC于G, 如图2, 那么PH＝5DG, E〔m, m﹣3〕, ∴PE＝m2﹣3m, DE＝m﹣3, ∵∠PHE＝∠DGE＝90°, ∠PEH＝∠DEG, ∴△PEH∽△DEG, ∴, ∴, ∵m＝3〔舍〕, 或m＝5, ∴点P的坐标为P〔5, 12〕． 故存在点P, 使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍, 其P点坐标为〔5, 12〕． 2．〔12分〕〔2021?昆明〕如图1, 在矩形ABCD中, AB＝5, BC＝8, 点E, F分别为AB, CD的中点． 〔1〕求证：四边形AEFD是矩形； 〔2〕如图2, 点P是边AD上一点, BP交EF于点O, 点A关于BP的对称点为点M, 当点M落在线段EF上时, 那么有OB＝OM．请说明理由； 〔3〕如图3, 假设点P是射线AD上一个动点, 点A关于BP的对称点为点M, 连接AM, DM, 当△AMD是等腰三角形时, 求AP的长． 【解答】〔1〕证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴AB＝CD, AB∥CD, ∠A＝90°, ∵AE＝EB, DF＝FC, ∴AE＝DF, AE∥DF, ∴四边形AEFD是平行四边形, ∵∠A＝90°, ∴四边形AEFD是矩形． 〔2〕证明：如图2中, 连接PM．BM． ∵四边形AEFD是矩形, ∴EF∥AD, ∵BE＝AE, ∴BO＝OP, 由翻折可知, ∠PMB＝∠A＝90°, ∴OM＝OB＝OP． 〔3〕解：如图3﹣1中, 当MA＝MD时, 连接BM, 过点M作MH⊥AD于H交BC于F． ∵MA＝MD, MH⊥AD, ∴AH＝HD＝4, ∵∠BAH＝∠ABF＝∠AHF＝90°, ∴四边形ABFH是矩形, ∴BF＝AH＝4, AB＝FH＝5, ∴∠BFM＝90°, ∵BM＝BA＝5, ∴FM＝＝＝3, ∴HM＝HF﹣FM＝5﹣3＝2, ∵∠ABP+∠APB＝90°, ∠MAH+∠APB＝90°, ∴∠ABP＝∠MAH, ∵∠BAP＝∠AHM＝90°, ∴△ABP∽△HAM, ∴＝, ∴＝, ∴AP＝． 如图3﹣2中, 当AM＝AD时, 连接BM, 设BP交AM于F． ∵AD＝AM＝8, BA＝BM＝5, BF⊥AM, ∴AF＝FM＝4, ∴BF＝＝＝3, ∵tan∠ABF＝＝, ∴＝, ∴AP＝, 如图3﹣3中, 当DA＝DM时, 此时点P与D重合, AP＝8． 如图3﹣4中, 当MA＝MD时, 连接BM, 过点M作MH⊥AD于H交BC于F． ∵BM＝5, BF＝4, ∴FM＝3, MH＝3+5＝8, 由△ABP∽△HAM, 可得＝, ∴＝, ∴AP＝10, 综上所述, 满足条件的PA的值为或或8或10． 3．〔12分〕〔2021?云南〕如图, AB是⊙C的直径, M、D两点在AB的延长线上, E是⊙C上的点, 且DE2＝DB?DA, 延长AE至F, 使得AE＝EF, 设BF＝10, cos∠BED＝． 〔1〕求证：△DEB∽△DAE； 〔2〕求DA, DE的长； 〔3〕假设点F在B、E、M三点确定的圆上, 求MD的长． 【解答】解：〔1〕∵∠