直线与圆锥曲线题型总结.doc

直线和圆锥曲线基本题型 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题 1、已知直线 l : y kx 1 与椭圆 C : x2 y2 1始终有交点， 求 m 的取值范围 4 m 解：根据直线 l : y kx 1 的方程可知， 直线恒过定点 （ 0，1），椭圆 C : x2 y2 4 1 m （0， m ),且 m 4 ，如果直线 l : y kx 1 和椭圆 C: x2 y 2 1 始终有交点， 过动点 4 m 则 m 1，且 m 4 ，即 1 m且m 4 。 题型二：弦的垂直平分线问题 例题 2、过点 T(-1,0) 作直线 l 与曲线 N ： y2 x 交于 A、 B 两点，在 x 轴上 是否存在一点 E( x0 ,0) ，使得 ABE 是等边三角形，若存在，求出 x0 ；若不 存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于 0。 设直线 l : y k (x 1) ， k 0 ， A( x1, y1 ) ， B(x2 , y2 ) 。 由 y k (x 1)消 y 整理，得 k 2 x2 (2 k 2 1)x k 2 0 ① y2 x 由直线和抛物线交于两点，得 (2 k 2 1)2 4k 4 4k 2 1 0 即 0 k 21 ② 4 由韦达定理，得： x1 x2 2k 2 2 1, x1x2 1 。则线段 AB的中点为 ( 2k 2 2 1 , 1 ) 。 k 2k 2k 线段的垂直平分线方程为： y 1 1 ( x 1 22k 2 ) 令 y=0, 得 x0 12 1 ，则 2k k 2k 2k 2 E( 1 1 ,0) 2k 2 2 Q ABE 为正三角形， E ( 1 1 ,0) 到直线 AB的距离 d= 3 AB 。 2k 2 2 2 Q AB ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 1 4k 2 1 k2 k 2 d 1 k2 3 1 2 4k 2 g 1 k2 1 k 2 解得 k 39 满足②式 此时 2 k 2k 2 k 13 x0 5 。 3 题型三：动弦过定点的问题 2 2 3 ，且在 x 轴上的顶点 例题 3、已知椭圆 C： x 2 y 2 1(a b 0) 的离心率为 a b 2 分别为 A1(-2,0),A 2(2,0) 。 （I ）求椭圆的方程； （II ）若直线 l : x t(t 2) 与 x 轴交于点 T, 点 P 为直线 l 上异于点 T 的任一点，直线 PA1,PA2 分别与椭圆交于 M、N点，试问直线 MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论 解：（I ）由已知椭圆 C的离心率 e c 3 ， a 2, 则得 c 3, b 1。从而椭圆 a 2 的方程为 x2 y2 1 4 （ II ）设 M ( x1 , y1 ) ， N ( x2 , y2 ) ，直线 A1 M 的斜率为 k1 , 则直线 A1 M 的方程为 y k1 ( x 2) ，由 y k1 ( x 2) 消 y 整理得 (1 2 2 16k2 x 2 4 0 Q 2和 x1 x 2 4 y 2 4 4k1 ) x 16k1 是方程的两个根， 2x1 16k12 4 1 4k 2 1 则 x 2 8k12 ， y1 4k1 ， 即点 M的坐标为 ( 2 8k12 , 4k1 ) ， 1 1 4k12 1 4k12 1 4k12 1 4k12 同理，设直线 A N的斜率为 k ，则得点 N 的坐标为 8k22 2 , 4k 2 ) 2 2 1 4k2 1 4k2 Q yp k1 (t 2), y p k2 (t 2) k1 k2 2 ， k1 k2 t Q 直线 MN的方程为： y y1 y2 y1 ， x x1 x2 x1 x2 y1 x1 y2 令 y=0，得 x y2 y1  ，将点 M、N的坐标代入， 化简后得： x 4 又 Q t 2 ， t 0 4 2 Q 椭圆的焦点为 ( 3, 0) 4 3 ，即 t 4 3 故当 t 4 3 时， MN过椭圆 t t 3 3 的焦点。 题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 2 2 例题 4、已知点 A、B、 C 是椭圆 E： x2 y2 1 (a b 0) 上的三点，其中点 a b A(2 3,0) uuur uuur uuur uuur 是椭圆的右顶点， 直线 BC过椭圆的中心 O，且 AC BC 0 ，BC 2AC ， 如图。 (I) 求点 C的坐标及椭圆 E 的方程； 若椭圆 E 上存在两点 P、Q，使得直线 PC与 直线 QC关于直线 x 3 对称，求直线 PQ的斜率。 解： (I) uuur uuur Q B