计算方法—数据分析与智能计算初探（第2版）教学课件 第6章 常微分方程数值解法.pptVIP

* 转化例子 将 转化为微分方程组。 解：令 ，有： 初始条件： * * 作业 课本 P116： 1 3 4 6 9 12 * * * 二阶龙格-库塔方法 以 k1 和 k2 的加权平均来近似取代 k* 为分析局部截断误差，令 yn = y(xn)，由泰勒公式得： * 补充：二元泰勒展开式 * 用二元泰勒公式展开 将 k1, k2 代入 中可得： * 二阶龙格-库塔方法（续） 2 阶精度 * 四个未知变量，只有三个方程，有无穷多组解 每组解的构成的龙格-库塔方法均为二阶 二阶龙格-库塔方法即为改进的欧拉方法 变形的欧拉法 中 点 方 法 * 三阶龙格-库塔方法 三阶龙格-库塔方法是用三个值 k1, k2, k3 的加权平均来近似取代 k* 要使三阶龙格-库塔方法具有三阶精度，必须使其局部截断误差为 O(h4) 将 k1, k2, k3 代入 yn+1 的表达式中，在 (xn, yn) 处用二元泰勒公式展开，与 y(xn+1) 在 xn 处的泰勒展开式比较 * 三阶龙格-库塔方法（续） 类似二阶龙格-库塔方法的推导过程，8 个待定系数 c1, c2, c3, a2, a3, b21, b31, b32 应满足： 8 个未知参数，6 个方程，有无穷多组解 库塔公式 * 四阶龙格-库塔方法 类似可以推出四阶龙格-库塔公式，常用的有： 标准四阶龙格-库塔公式 * 四阶龙格-库塔方法（续） 吉尔（Gill）公式 4 阶以上龙格-库塔公式的计算量太大，并且精度不一定提高，有时反而会降低，因此实际应用中一般选用四阶龙格-库塔已足可满足精度要求。 * 用经典四阶龙格-库塔方法求解前例的初值问题，并与改进 欧拉 法、梯形法在 x5 = 0.5 处比较其误差大小 解：采用经典四阶龙格-库塔公式： * 四阶R-K方法的精度比二阶方法高得多 精确解为： R-K方法的误差： 改进欧拉法的误差： 梯形法的误差： * 变步长的龙格-库塔方法 设 y (xn) 在 xn 处的值 yn = y (xn)，当 xn+1 = xn+ h 时 y (xn+1) 的近似值为 ，由于四阶 R-K 方法的精度为 4 阶，故局部截断误差为： 用四阶R-K方法求解初值问题精度较高，但要从理论上给出误差 | y (xn) - yn | 的估计式则比较困难；那么应如何判断计算结果的精度以及如何选择合适的步长 h？ 通常是通过不同步长在计算机上的计算结果进行近似估计。 * 若以 h/2 为步长，从 xn 出发，经过两步计算，得到 y(xn+1) 的近似值 变步长的龙格-库塔方法（续） 以上每步的截断误差约为 cn(h/2)5，于是两步的局部截断误差为： 于是： 整理得： * 变步长的龙格-库塔方法（续） 记： ，给定的精度要求为 e D e，反复将步长折半计算，直至 D e，取最终得到的 作为 y(xn+1) 的近似值。 D e，反复将步长加倍计算，直至 D e，再将步长折半一次计算，最终得到符合精度要求的 y(xn+1) 的近似值。 * 单步法的收敛性 显式单步法可统一写成： 增量函数，仅依赖于函数 f，且仅仅是 xn, yn, h 的函数 求 y = y(x) 求 y(xn)，xn = x0 + nh 离散化 求 yn ? y(xn) 某种数值方法 h ? 0 时，近似解 是否收敛到精确解 ，它应当 是一个固定节点，因 此 h ? 0 时应同时附 带 n ? ? * 单步法的收敛性（续） 对于 p 阶的常微分方程数值算法，当 h ? 0， n ? ? 时，是否 yn+1 ? y(xn+1)？ p 阶算法的局部截断误差为： 显然： 局部截断误差的前提假设是： 局部截断误差 ? 0 并不能保证算法收敛 * 单步法的收敛性（续） 定义：若求解某初值问题的单步数值法，对于固定的 当 h ? 0 且 n ? ? 时，它的近似 解趋向于精确解 y(xn)，即： 则称该单步法是收敛的。 定义：称 y(xn) - yn 为单步法的近似解 yn 的整体截断 误差。 单步法收敛 h ? 0 且 n ? ? 时，yn 的整体截断误差 ? 0 * 单步法的收敛性（续） 收敛性定