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线性代数基础知识线性代数基础知识矩阵的概念 矩阵的定义 矩阵是数(或是函数)的矩形阵表,是数学上常用的概念.定义:由m×n个数排成的m行n列的表 称为m行n列矩阵（matrix）,简称矩阵.这m×n个数叫做矩阵的元素.当元素都是实数时称为实矩阵（real matrix）,当元素为复数时称为复矩阵（complex matrix）. 第一页，共19页。 矩阵的概念 矩阵的定义 矩阵是数(或是函数)的矩形阵表,是数学上常用的概念. 定义:由m×n个数排成的m行n列的表 称为m行n列矩阵（matrix）,简称矩阵.这m×n个数叫做矩阵的 元素.当元素都是实数时称为实矩阵（real matrix）,当元素 为复数时称为复矩阵（complex matrix）. 第二页，共19页。 3. 向量 n维行向量: 1?n矩阵[a1, a2, …, an] n维列向量: n?1矩阵 a1 a2 … an 第i分量: ai (i = 1, …, n) n阶方阵: n?n矩阵 2. 方阵 ? 第三页，共19页。 几种常用的特殊矩阵 1.对角矩阵（diagonal matrix） 记作 2.标量矩阵（scalar matrix） 3.n阶单位矩阵（unit matrix） 第四页，共19页。 矩阵的乘法 定义 设两个矩阵 , ,则矩阵A与矩阵 B的乘积记为 规定 其中 应注意:只有当矩阵A的列数与B的行数相同时，A与B才能 作乘积，并且乘积矩阵的行数与A的行数相等，乘积矩阵的列 数与B的列数相等. 第五页，共19页。 矩阵的乘法满足下列运算律（假设运算都是成立的）： (1)结合律: (2)分配律： (3)设k是数: 第六页，共19页。 例 设 求乘积矩阵. 解： 第七页，共19页。 矩阵的转置 定义 设 则矩阵 称为A的转置矩阵(transposed matrix),记作 转置矩阵就是把A的行换成同序号的列得到的一个新矩阵。 例如，矩阵 的转置矩阵为 第八页，共19页。 性质： 1。A2=A’A 2。(AB)’=B’A’ 3。(kA)’=kA’ 4。(A+B)’=A’+B’ 第九页，共19页。 逆矩阵 逆矩阵的概念 定义：设A为阶n方阵，若存在n阶方阵B，使 AB=BA=I 则称A是可逆矩阵（invertible matrix）。并称B为A的逆矩阵 (inverse matrix)，记为 ,即 如果矩阵A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.事实上，设A， B都是可逆矩阵，则有 于是 第十页，共19页。 定义 设A为n阶方阵，若 则称A是非奇异矩阵 (nonsingular matrix)或非退化矩阵,否则称A是奇异矩阵(singular matrix)或退化矩阵。 定义设 令 为|A|中元素 的代数余子式，则称方阵 为A的伴随矩阵(adjoint matrix),或记为adj A。 第十一页，共19页。 矩阵可逆的充要条件 定理：方阵A可逆的充分必要条件是A为非奇异矩阵， 即|A|≠0，并且 第十二页，共19页。 矩阵的秩 矩阵秩的概念 定义： 设A是一个m×n矩阵，在A中任取k行、k列，位于 这些k行和k列交叉处的元素按原来的次序组成一个k阶行列式, 称为矩阵A的一个k阶子式（minor）。 例如： 矩阵 由1、2、3行与1、2、3列构成的三阶子式 在矩阵A中有一个三阶子式不为零，而所有的四阶子式全为零, 这时我们可以称A的秩是3。 第十三页，共19页。 定义： 矩阵A中的非零子式的最高阶数称为矩阵的秩(rank- of a matrix），记作r(A)。 零矩阵的所有子式全为零,所以规定零矩阵的秩为零. 设A是n阶方阵,若A的秩等于n,则称A为满秩矩阵(nonsingular matrix），否则称为降秩矩阵(singular matrix)。 矩阵秩的性质 第十四页，共19页。