等差数列 课件.ppt

【点拨】 【思考】 　　　　　　 等差数列的判定与证明 1.判断一个数列是等差数列的常用方法 (1)an+1-an=d（常数）（n∈N*）{an}是等差数列. (2) 2an+1=an+an+2（n∈N*）{an}是等差数列. (3)an=kn+b(k,b是常数，n∈N*){an}是等差数列. 【名师指津】 2．定义法判断或证明数列{an}是等差数列的步骤： （1）作差an+1-an，将差变形； （2）当an+1-an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an+1-an不是常数，而是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列. 【特别提醒】作差an+1-an,是指数列中的任意相邻两项，不是指数列中的特殊两项.若an-an-1，需强调n≥2. 【例1】已知数列{an}满足a1=4，an=4- （n＞1, n∈N*）， 记bn= 试判断数列{bn}是否为等差数列？说明理由. 【审题指导】题目中给出了数列{an}的递推关系式以及bn和an的关系，欲判断数列{bn}是否为等差数列，只需说明bn+1-bn为常数是否成立. 【规范解答】∵bn+1-bn= = 又b1= ∴数列{bn}是以 为首项， 为公差的等差数列. 【互动探究】在本例中若an= （n＞1,n∈N*），能否 判定数列{ }是等差数列？ 【解题提示】利用等差数列的定义判断. 【解析】∵an= （n＞1,n∈N*）, ∴ 即 ∴ （常数）. 又 ∴数列{ }是以 为首项，4为公差的等差数列. 　　　　　　 等差数列的通项公式及其应用 【名师指津】等差数列的通项公式及其应用. （1）从函数的角度看等差数列的通项公式.由等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d可得an=dn+（a1-d），当d≠0时，an是关于n的一次函数. （2）由两点确定一条直线的性质可以得出，等差数列的任意两项可以确定这个等差数列.若已知等差数列的通项公式，可以写出数列中的任意一项. （3）等差数列{an}的通项公式an=a1+（n-1）d中含有四个量，即an，a1，n，d，如果知道了其中的任意三个量，就可以由通项公式求出第四个，这一求未知量的过程我们通常称之为“知三求一”. 【例2】在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31，求通项公式an. 【审题指导】本题给出了等差数列{an}中的两项，可利用等差数列的通项公式，列出方程组，求解即可. 【规范解答】设公差为d,由题意a5=10，a12=31，可知， ∴an=-2+(n-1)×3=3n-5. 【互动探究】若本例条件不变，求a20. 【解题提示】利用等差数列的通项公式列出方程组求得a1和d，然后求出a20. 【解析】由原题解析可知an=3n-5, ∴a20=3×20-5=55. 【典例】(12分)已知三个数成等差数列，它们的和为9，积为-21，求这三个数. 【审题指导】题目中已知三个数成等差数列，可采用对称的设法，设这三个数分别为a-d，a，a+d，利用和为定值，先求得a的值，再利用积为-21，依次求得三个数. 【规范解答】设这三个数为a-d，a，a+d ……………3分 由题意得： ……………………6分 解得a=3， d=4或d=-4 ………………………………………… 9分 当d=4时，三个数分别为-1，3，7. 当d=-4时，三个数分别为7，3，-1. ……………………12分 【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下： 【即时训练】已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数. 【解题提示】可充分利用等差中项的定义求解未知量. 【解析】方法一:设这三个数为a-d，a，a+d，由已知得： 由①得a=6，代入②得d=±2，∵该数列是递增的， ∴ d=-2(舍去)， ∴这三个数为4，6，8. 方法二：设这三个数为a，b，c， 则由题意得 解得a=4，b=6，c=8. 1.下列说法正确的是（ ） (A)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数列 (B)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列 (C)一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数列