备战2022 中考数学 人教版 第十二讲 二次函数的图象与性质（教师版）.docVIP

PAGE 18 - 第十二讲　二次函数的图象与性质 知识清单·熟掌握 二次函数的图象和性质 1．概念：形如__y＝ax2＋bx＋c__(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫二次函数． 2．三种不同形式的解析式 (1)一般式：__y＝ax2＋bx＋c(a≠0)__； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中__(h，k)__为二次函数的顶点坐标； (3)交点式(两根式)：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标． 3．二次函数的图象与性质 1．二次函数三种形式的解析式可互相转换． 2．将二次函数一般式化为顶点式可按下面步骤进行： (1)一化：将二次项系数化为1. (2)二配：将含有x的项配成完全平方式． (3)三化：化为顶点式． 二次函数自变量取值范围为x1<x<x2时，求最值的方法 1．若对称轴在该范围内，则最大、最小值都存在，分别在顶点和一端点处取得． 2．若对称轴不在该范围内，则最大、最小值也都存在，分别在x1，x2处取得． 二次函数图象的平移 1．将抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的新抛物线对应的函数表达式是y＝2(x－3)2＋2(×) 2．把二次函数y＝(x－1)2－3的图象向左平移3个单位，向上平移4个单位后，得到的新抛物线对应的函数表达式是y＝(x＋2)2＋1(√) 二次函数图象与系数的关系 二次函数与方程、不等式的关系 1．抛物线y＝－x2＋2x－3与x轴有两个交点(×) 2．关于x的一元二次方程x2＋4x＋4m＝0有两个相等的实数根，则二次函数y＝x2＋4x＋4m的图象与x轴有两个交点(×) 3．抛物线y＝2(x－3)(x＋4)与x轴交点的横坐标分别为－3和4(×) 4．抛物线y1＝－x2＋4x和直线y2＝2x的图象如图所示，那么不等式－x2＋4x＞2x的解集是0＜x＜2(√) 考点一　二次函数的图象和性质 【典例1】(2021·嘉兴中考)已知二次函数y＝－x2＋6x－5. (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？ (3)当t≤x≤t＋3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m－n＝3，求t的值． 【思路点拨】(1)解析式化成顶点式即可求得． (2)根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得最大值和最小值． (3)分三种情况讨论，根据二次函数的性质得到最大值m和最小值n，进而根据m－n＝3得到关于t的方程，解方程即可． 【自主解答】(1)∵y＝－x2＋6x－5＝－(x－3)2＋4， ∴顶点坐标为(3，4)； (2)∵顶点坐标为(3，4)， ∴当x＝3时，y最大值＝4， ∵当1≤x≤3时，y随着x的增大而增大， ∴当x＝1时，y最小值＝0， ∵当3＜x≤4时，y随着x的增大而减小， ∴当x＝4时，y最小值＝3， ∴当1≤x≤4时，函数的最大值为4，最小值为0； (3)当t≤x≤t＋3时，对t进行分类讨论， ①当t＋3＜3时，即t＜0，y随着x的增大而增大， 当x＝t＋3时，m＝－(t＋3)2＋6(t＋3)－5＝－t2＋4， 当x＝t时，n＝－t2＋6t－5， ∴m－n＝－t2＋4－(－t2＋6t－5)＝－6t＋9， ∴－6t＋9＝3，解得t＝1(不合题意，舍去)， ②当0≤t＜3时，顶点的横坐标在取值范围内， ∴m＝4， i)当0≤t≤ eq \f(3,2) 时，在x＝t时，n＝－t2＋6t－5， ∴m－n＝4－(－t2＋6t－5)＝t2－6t＋9， ∴t2－6t＋9＝3，解得t1＝3－ eq \r(3) ，t2＝3＋ eq \r(3) (不合题意，舍去)； ii)当 eq \f(3,2) ＜t＜3时，在x＝t＋3时，n＝－t2＋4， ∴m－n＝4－(－t2＋4)＝t2， ∴t2＝3，解得t1＝ eq \r(3) ，t2＝－ eq \r(3) (不合题意，舍去)， ③当t≥3时，y随着x的增大而减小， 当x＝t时，m＝－t2＋6t－5， 当x＝t＋3时，n＝－(t＋3)2＋6(t＋3)－5＝－t2＋4， m－n＝－t2＋6t－5－(－t2＋4)＝6t－9， ∴6t－9＝3，解得t＝2(不合题意，舍去)， 综上所述，t＝3－ eq \r(3) 或 eq \r(3) . 【典例2】(2020·淮安中考)二次函数y＝－x2－2x＋3的图象的顶点坐标为__(－1，4)__． 【思路点拨】把二次函数解析式转化成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可． 求顶点坐标的三种方法 1．直接运用顶点坐标公式 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a))) 求解． 2．运用配方法将一般式转化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，则顶点坐标为(h