备战2022 中考数学 人教版 微专题八 对称性质在折叠问题中的应用（教师版）.docVIP

PAGE 16 - 微专题八 对称性质在折叠问题中的应用 模型一：平行四边形的折叠 模型特点 以对角线所在直线为对称轴折叠为例 模型示例 解题思路 及结论 ①△ABC≌△AB′C， ②EF垂直平分AC， ③四边形AECF是菱形 1．(2021·德州德城区质检)如图，将?ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为(C) A．66° B．104° C．114° D．124° 2．(2021·宝鸡岐山县模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝16，∠A＝60°，P为AD的中点，F是边AB上不与点A，B重合的一个动点，将 △APF沿PF折叠，得到△A′PF，连接BA′，则△BA′F周长的最小值为__2 eq \r(21) ＋2__． 3．(2021·山西中考)综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在?ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明． 独立思考：(1)请解答老师提出的问题； 实践探究：(2)希望小组受此问题的启发，将?ABCD沿着BF(F为CD的中点)所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C′，连接DC′并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明． 问题解决：(3)智慧小组突发奇想，将?ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A′，使A′B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，连接A′M，交CD于点N.该小组提出一个问题：若此?ABCD的面积为20，边长AB＝5，BC＝2 eq \r(5) ，求图中阴影部分(四边形BHNM)的面积．请你思考此问题，直接写出结果． 【解析】(1)结论：EF＝BF. 理由：如图①，作FH∥AD交BE于H. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵FH∥AD， ∴DE∥FH∥CB， ∵DF＝CF， ∴ eq \f(EH,HB) ＝ eq \f(DF,FC) ＝1， ∴EH＝HB， ∵BE⊥AD，FH∥AD， ∴FH⊥EB， ∴EF＝BF. (2)结论：AG＝BG. 理由：如图②，连接CC′. ∵△BFC′由△BFC翻折得到， ∴BF⊥CC′，FC＝FC′， ∵DF＝FC， ∴DF＝FC＝FC′， ∴∠CC′D＝90°， ∴CC′⊥GD， ∴DG∥BF， ∵DF∥BG， ∴四边形DFBG是平行四边形， ∴DF＝BG， ∵AB＝CD，DF＝ eq \f(1,2) CD， ∴BG＝ eq \f(1,2) AB， ∴AG＝GB. (3)如图③，过点D作DJ⊥AB于J，过点M作MT⊥AB于T. ∵S平行四边形ABCD＝AB·DJ， ∴DJ＝ eq \f(20,5) ＝4， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝2 eq \r(5) ，AB∥CD， ∴AJ＝ eq \r(AD2－DJ2) ＝ eq \r(（2\r(5)）2－42) ＝2， ∵A′B⊥AB，DJ⊥AB， ∴∠DJB＝∠JBH＝∠DHB＝90°， ∴四边形DJBH是矩形， ∴BH＝DJ＝4， ∴A′H＝A′B－BH＝5－4＝1， ∵tan A＝ eq \f(DJ,AJ) ＝ eq \f(MT,AT) ＝2， 设AT＝x，则MT＝2x， ∵∠ABM＝∠MBA′＝45°， ∴MT＝TB＝2x， ∴3x＝5，∴x＝ eq \f(5,3) ，∴MT＝ eq \f(10,3) ， ∵tan A＝tan A′＝ eq \f(NH,A′H) ＝2， ∴NH＝2， ∴S△ABM＝S△A′BM＝ eq \f(1,2) ×5× eq \f(10,3) ＝ eq \f(25,3) ， ∴S四边形BHNM＝S△A′BM－S△NHA′＝ eq \f(25,3) － eq \f(1,2) ×1×2＝ eq \f(22,3) . 模型二：矩形的折叠 模型特点 以过某一顶点的直线为对称轴折叠为例 模型示例 　 (1)　　　　　 (2) 解题思路及结 论 (1)①一线三垂直；②△PDE∽△ECB. (2)△DPF∽△EGF∽△CGB. 1．(2021·东营市广饶县模拟)如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论： ①四边形CFHE是菱形； ②∠DCE＝∠ECH； ③线段BF的取值范围为3≤BF≤5； ④当点H与点A重合时，EF＝2 eq \r(5) . 其中正确的有________个(B) A．1 B．2 C．3 D．4 2.(2021·兴安盟模拟)如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，若DE