正弦定理同步练习.docx

正弦定理知识总结和应用同步练习 一、 知识必备： 直角三角形中各元素间的关系： 在△收中，f=90° , AB=c, AC=b, BC=a. 三边之间的关系：疽+甘=4。(勾股定理) 锐角之间的关系：Z+5=90° ； 边角之间的关系：(锐角三角函数定义) ?浦 c 。 . c b . a siru4^cosA:= — , cos A = s — , tarL4=—。 c c b 二、 正弦定理 (一)知识与工具： 正弦定理：在AABC中，一土 =一乌=一壬= 2R。(外接圆圆半 sin A snin sinC 径) 在这个式子当中，己知两边和一角或己知两角和一边，可以求出其它所有 的边和角。 注明：正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中，注意三角 形中其他条件的应用： 三内角和为180° 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 面积公式：S=上 absinC= *竺=2R2sinAsinBsinC 2 4R S = ^aha = ^absinC = ^r(a + b + c)(其中r为三角形内切圆半径) p = ：(〃 +力+ c), S = ylp(p-a)(p-b)(p-c)(海伦公式) 三角函数的恒等变形。 在AAB8, A>B = 々>力osinA>sin8(即大边对大角，大角对大边) TOC \o "1-5" \h \z ..—.. /Ac、 — A + B C 4 4- B C sin(A+B)=sinC, cos(A+B)=-cosC , sin =cos —, cos =sin— 2 2 2 2 a = 2RsinA,b = 2RsinB,c = 2RsinC (边化角公式) sinA = — ,sin B = — ,sin C =—(角化边公式) 2R 2R 2R a:Z?:c = smi4:sinB:smC ,A、。 sin A ? sin A b sinB (，)—= ,—= ,—= b sinB c sinC c sinC (10) 在A〉B<=>o>Z?OsinA>sinB(即大边对大角，大角对大边) （二）题型使用正弦定理解三角形共有三种题型 题型1利用正弦定理公式原型解三角形 题型2利用正弦定理公式的变形（边角互化）解三角形：关于边或角的齐次 式可以直接边角互化。 题型3三角形解的个数的讨论 己知o, b和A,求B时的解的情况: 如果smANsuiB,则8有唯一解；如果sul4<suiB<1,则B有两解; 如果sinB=l,则8有唯一解；如果siM>l,则B无解. 方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检 验解出的结果是否符合实际意义，从而确定解的个数。 【课堂同步练习】 B=45。，则角C的大小AABC't1, a, b, c 分别为角 A, B, C B=45。，则角C的大小 15° B. 75° C. 15。或 75° D. 60。或 120。 在MBC 中，人=60”,。= 4右力=4>/1,则 B二 A. 30"B. 45"C. 120° A. 30" B. 45" C. 120° D, 135° 己知△ABC中，a = & b = 8 , 8 = 60',那么角A等于( A. 135。B. 90C. 45D. 30己知。=4,/? = 6, B = 60 ?则sin A的值为（ A. 135。 B. 90 C. 45 D. 30 己知。=4,/? = 6, B = 60 ? 则sin A的值为（ 5.在Z\ABC 中，己知 A = 45° B = 15° , a=l,则这个三角形的最大边的长为（） A. 2 D. V6 6.在AA5C中，若43a = 2bsmA,则8=( 71 A.— 3 勿z 2知 C.一或一 3 3 勿z 5） D.一或一 6 6 7.在△ABC中，角A、 B、C所对的边分别是。、b、c ,若a = -b, A = 2B,贝iJcosB 2 等于 1 - 1 - 4 B. 1 - 3A. -A h + c MBC中，cos——=——，则AABC形状是（） 2 2c A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D,等腰直角三角形 在MBC中，g = 则此三角形为 b cosB A.直角三角形； B,等腰直角三角形C..等腰三角形 D.等腰或直角三角形 己知中，。、b分别是角A、B所对的边，且a = x（x>O）,b = 2,A=6O0 ,若 三角形有两解，则x的取值范围是（ ） A、x>y/3 B、0<x<2 C、>/3 <X<2 D、>/3 <x<2 设的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若bcosC+ccosB = asinA,则左 ABC的形状为（ ） （A）钝角三角形 （B）