中考数学压轴题破解策略专题18《弦图模型》.docx

专题18《弦图模型》 破解策略 内弦图 如图，在正方形 ABCD中, BF丄CGCGL DH DHL AE AE! BF,则厶 ABE^A BCF^A CD&A DAH 证明 因为/ ABC=Z BFC= 90° 所以/ ABEFZ FBC=Z FBOZ FCB- 90°. 所以/ ABE=Z FCB. 又因为AB= BC.所以△ ABE^A BCF 同理可得厶 ABE^A BCF^A CDG^A DAH 外弦圈 如图，在正方形 ABCD^,点M N, P, Q在正方形 ABCD边上,且 四边形MUP为正方形，则△ QBIWA MCN△ ND^A PAQ 证明 因为/ B=Z QMN / C= 90°, 所以/ BQMZ QM&Z QM&Z NMG 90°, 所以/ BQMZ NIC. 又因为QM= MN所以△ QBIWA MCN 同理可得厶 QHIW^ MC^^ NDP^^ PAQ 3?括展 (1)如图，在 Rt△ ABH中.Z ABH= 90°, BEL AH于点 E.所以 A BE^^ BHE^^ AHB. (2)如图，在 Rt △ QBM和 Rt△ BLK中，QB= BL, QM_ BK 所以 QBIW^ BLK A A 证明 因为/ BL2 90°, QML BK 所以/ KB』/ QM&Z KBI 十/ K= 90° 所以/ QMB / K, 又因为QB= BL. 所以△ BLK 例题讲解 例1四边形ABCD是边长为4的正方形，点 E在边AD所在的直线上，连结 CE以CE 为边，作正方形 CEF（点D, F在直线CE的同侧），连结 BF当点E在线段AD上时，AE =1，求BF的长. G G 解 如图，过点F作FH丄AD交AD的延长线于点 H, 延长FH交BC的延长线于点K. 因为四边形ABC刖四边形CEFG是正方形， 根据“弦图模型”可得厶 ECD^A FEH所以FH = ED= AD- AE= 3, EH= CD= 4. 因为 CDH!为矩形，所以 HK= CD= 4, CK= DH= EH- ED= 1. 所以 FK= FH十 HK= 7, BK= BO CK=. 5. 所以 BF= . FK 2 BK 2 74 DAHKC D A H K C 例2如图，△ BCD为等腰直角三角形，/ CBD 90°,/ BAG 45°,若 &acx 4. 5,求AC 的长. D D 解 如图，过点 B作BE!AC于点E,过点D作DF1 BF交EB的延长线于点 F. 由“外弦图模型”可得厶 BFD^A CEB 所以bfx CE 易证AE= BE,所以AC= EF, 所以S\ ACD= -AC- EF=丄 AC= 4. 5, 2 2 从而AC= 3. D D 例3某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行 探究，提出下列问题，请你给出证明. GH分别交AD BC(1)如图1,在矩形 ABC曲,EFL CH EF分别交AB CD于点F, F GH分别交 AD BC 于点G H求证：匡=俎 GH AB (2)如图 (2)如图2,在满足(1 )的条件下，又 AML BN点M N分别在边 BC CD上，若 EF GH 11,则更= . 15 AM CD- 5 , AML DN(3)如图 3,在四边形 ABCD中 , / ABC= 90° , CD- 5 , AML DN 点M N分别在边BC AB上，求 空 的值. AM 图1图2MB 图1 图2 M B 解 （1））如图4?过点A作AP// EF.交CD于点P,过点B作BQ/ GH交AD于点Q 因为四边形 ABCD是矩形. 所以 AB// DC AD/ BC. 所以四边形AEFP四边形BHG（都是平行四边形， 所以 AP= EF, GH= BQ 又因为CHL EF 所以API BQ 所以/ QAH/ AQF 90° 因为四边形 ABC虎矩形, 所以/ DAB=Z D= 90°, 所以/ DAPbZ DPA= 90°, 所以/ AQF/ DPA. 所以△ PDMA Q/B. 所以APBQ 所以 AP BQ AD AB 所以里=JAD . GH AB CH C H (2)因为 EFL GH AML BN 所以由(1 所以由(1)中的结论可得雯=竺, GH AB BN = AD AM AB 所以空=JF =卩 AM GH 15 (3)如图 (3)如图5 .过点D作平行于AB的直线, 交过点 A且平行于BC的直线于点P,交BC 的延长线于点S. 则四边形ABSR是平行四边形. 因为/ ABC= 90°, 所以四边形 ABSR是矩形. 所以/ R=Z S= 90°, RS-AB= 10, AF= BS 因为AML DN 所以由(1)中的结论可得竺=竺 AM AB