中考数学圆的基本性质证明与计算重点题型讲解.docx

中考数学圆的基本性质证明与计算重点题型讲解 tai 命题点1垂径左理 例1.如图，CD是00的直径，是弦(不是直径)，AB丄CD于点E,则下列结论正确的是() A? AE>BE BAD=BC C? ZD=*ZAEC D? \ ADEsHCBE 【答案:L D 命题点2圆周角左理 例2.如图，点O为优弧觞所在圆的圆心，ZAOC= 108%点D/￡AB的延长线上，BD=BC,则ZD. 【答案】：27° 重难点1垂径左理及其应用 例3、已知AB是半径为5的0O的直径，E是AB上一点，且BE=2. 如图1,过点E作直线CD丄AB,交OO于C, D两点，则CD = 图2 图2 探究：如图2,连接AD,过点O作OF丄AD于点F,则OF= 过点E作直线CD交00于C, D两点. 若ZAED=30°,如图 3,则 CD= : 若ZAED=45°,如图4,则CD= 【答案】：(1)8*5 (2)顷 V82 【思路点拨】 由于CD是OO的弦，因此利用圆心到弦的距离(有时需先作弦心距)，再利用垂径左理，结合 勾股左理，求岀弦的一半，再求弦. 【变式训练1】如图，点A, B, C, D都在半径为2的00上?若0A丄BC, ZCDA = 30。，则弦BC的长为( B. B. 2^2 【答案】：D 【变式训练2】 【分类讨论思想】已知00的半径为lOc/n, AB, CD是00的两条弦，AB〃CD, AB = 16⑷, CD=12cm则弦AB和CD之间的距离是 【答案】：2cm或14cm 方法指导 垂径泄理两个条件是过圆心、垂直于弦的直线.三个结论是平分弦，平分弦所对的优弧与劣狐. 圆中有关弦的证明与计算，通过作弦心距，利用垂径定理，可把与圆相关的三个量，即圆的半径，圆中一 条弦的一半，弦心距构成一个直角三角形，从而利用勾股左理，实现求解. 事实上，过点E任作一条弦，只要确泄弦与AB的交角，就可以利用垂径泄理和解直角三角形求得这条眩 长? 重难点2圆周角左理及其推论 例3、已知00是AABC的外接圆，且半径为4. 如图1,若ZA=30°,求BC的长; 如图 2,若ZA=45°： 求BC的长： 若点C是忑的中点，求AB的长； 如图3,若ZA=135%求BC的长. AA图3 A A 图3 【答案】(1)4 (2) 4^2.,8 (3) 4? 【点拨】 连接OB, OC,利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，构建可解的等腰三角形求解. 【解析】解：（1）连接OB, 0C. VZBOC=2ZA=60°, OB=OC, .?- AOBC 是等边三角形. ???BC=OB=4? （2）①连接OB, OC. ???ZBOC = 2ZA=90。，OB=OC, A AOBC 是等腰直角三角形. VOB=OC=4, /.BC=4V2? ②???点C是忑的中点，???ZABC=ZA=45。. AZACB = 90c.AAB 是0O 的直径.AAB = & （3）在优弧就:上任取一点D,连接BD, CD.连接BO, CO. V ZA=135°, ??? ZD=45°. A ZBOC = 2ZD=90°. VOB=OC=4, .\BC=4-V2? 【变式训练3】 如图，BC是0O的直径，A是。O上的一点，ZOAC = 32°,则ZB的度数是（ ） A. 58°B. A. 58° B. 60° D. 68° 【答案】：A 【变式训练4】 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上.点A, B的读数分别为88。? 30°,则ZACB的大小为（） 方法指导C. 29°D. 方法指导 C. 29° D. 34° 在圆中由已知角求未知角，同（等）弧所对的圆心角和圆周角的关系是一个重要途径，其关键是找到同一条弧. 弦的求解可以通过连接圆心□弦的两个端点，构建等腰三角形来解决. —条弦所对的两种圆周角互补，即圆内接四边形的对角互补. 模型建立在半径已知的圆内接三角形中，若已知三角形一内角，可以求得此角所对的边. 易错提示注意同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，避免把数量关系弄颠倒. 重难点3圆内接四边形 例4、如图，四边形ABCD为00的内接四边形.延长AB与DC相交于点G, AO丄CD,垂足为E,连接BD?ZGBC =50%则ZDBC的度数为（） B. 60°C. B. 60° C. 80° D? 90° 【答案】C 【思路点拨】 延长AE交OO于点M,由垂径立理可得CD=2DM＞所以ZCBD=2ZEAD.由圆内接四边形的对角 互补，可推得ZADE=ZGBC,而ZADE与ZEAD互余，由此得解. ZBCD=120°,则ZBOD 的大小是（ ）【变式训练5】如图所示，四边形ABCD ZBCD=120°,则ZBOD 的大小是（ ） A. 80°B? A. 80° B?