- 1、本文档共76页,可阅读全部内容。
- 2、原创力文档(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
- 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载。
- 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
查看更多
欢迎您关注微信公众号(QQ群):高中数学解题研究群416652117
第 PAGE 21 页 共 NUMPAGES 54 页 QQ群416652117
PAGE
目录
TOC \o 1-3 \h \z \u 第一部分 构造辅助函数求解导数问题 2
技法一:“比较法”构造函数 2
技法二:“拆分法”构造函数 3
技法三:“换元法”构造函数 5
技法四:二次(甚至多次)构造函数 8
强化训练 10
第二部分 利用导数探究含参数函数的性质 15
技法一:利用导数研究函数的单调性 15
技法二:利用导数研究函数的极值 17
技法三:利用导数研究函数的最值 20
强化训练 22
第三部分 导数的综合应用 29
技法一:利用导数研究函数的零点或方程的根 29
技法二:利用导数证明不等式 32
技法三:利用导数研究不等式恒成立问题 35
技法四:利用导数研究存在性与任意性问题 45
技法五:利用导数研究探究性问题 48
强化训练 50
第一部分 构造辅助函数求解导数问题
对于证明与函数有关的不等式,或已知不等式在某个范围内恒成立求参数取值范围、讨论一些方程解的个数等类型问题时,常常需要构造辅助函数,并求导研究其单调性或寻求其几何意义来解决;题目本身特点不同,所构造的函数可有多种形式,解题的繁简程度也因此而不同,这里给出几种常用的构造技巧.
技法一:“比较法”构造函数
[典例] (2017·广州模拟)已知函数f(x)=ex-ax(e为自然对数的底数,a为常数)的图象在点(0,1)处的切线斜率为-1.
(1)求a的值及函数f(x)的极值;
(2)证明:当x>0时,x2<ex.
[解] (1)由f(x)=ex-ax,得f′(x)=ex-a.
因为f′(0)=1-a=-1,所以a=2,
所以f(x)=ex-2x,f′(x)=ex-2,
令f′(x)=0,得x=ln 2,
当x<ln 2时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
当x>ln 2时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
所以当x=ln 2时,f(x)取得极小值,且极小值为f(ln 2)=eln 2-2ln 2=2-ln 4,f(x)无极大值. QQ群416652117
(2)证明:令g(x)=ex-x2,则g′(x)=ex-2x.
由(1)得g′(x)=f(x)≥f(ln 2)>0,
故g(x)在R上单调递增.
所以当x>0时,g(x)>g(0)=1>0,即x2<ex.
[方法点拨]
在本例第(2)问中,发现“x2,ex”具有基本初等函数的基因,故可选择对要证明的“x2<ex”构造函数,得到“g(x)=ex-x2”,并利用(1)的结论求解.
[对点演练]
已知函数f(x)=eq \f(x,ex),直线y=g(x)为函数f(x)的图象在x=x0(x0<1)处的切线,求证:f(x)≤g(x).
证明:函数f(x)的图象在x=x0处的切线方程为y=g(x)=f′(x0)(x-x0)+f(x0).
令h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f′(x0)(x-x0)-f(x0),
则h′(x)=f′(x)-f′(x0)=eq \f(1-x,ex)-eq \f(1-x0,e)=eq \f(?1-x?e-?1-x0?ex,e).
设φ(x)=(1-x)e-(1-x0)ex,
则φ′(x)=-e-(1-x0)ex,
∵x0<1,∴φ′(x)<0,
∴φ(x)在R上单调递减,又φ(x0)=0,
∴当x<x0时,φ(x)>0,当x>x0时,φ(x)<0,
∴当x<x0时,h′(x)>0,当x>x0时,h′(x)<0,
∴h(x)在区间(-∞,x0)上为增函数,在区间(x0,+∞)上为减函数,
∴h(x)≤h(x0)=0, QQ群416652117
∴f(x)≤g(x).
技法二:“拆分法”构造函数
[典例] 设函数f(x)=aexln x+eq \f(bex-1,x),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为y=e(x-1)+2.
(1)求a,b;
(2)证明:f(x)>1.
[解] (1)f′(x)=aexeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln x+\f(1,x)))+eq \f(bex-1?x-1?,x2)(x>0),
由于直线y=e(x-1)+2的斜率为e,图象过点(1,2),
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f?1?=2,,f′?1?=e,))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b=2,,ae=e,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a=1,,b=2.))
(
您可能关注的文档
最近下载
- 供热工程期末复习题库文档 经典.docx VIP
- ISO22301:2021程序文件-内部审核控制程序.docx VIP
- SAP生产执行操作手册(详细).docx
- 中医确有专长模板-中药内服治疗咳嗽.docx
- 贷款担保协议范本-贷款担保者免责协议书.docx VIP
- 大连理工大学2020-2021学年《Python程序设计》期末考试试卷(A卷)及标准答案.docx
- ISO22301:2021程序文件-风险机会控制程序.docx VIP
- 新生儿色素失禁症护理ppt课件.pptx
- 高中人教物理选择性必修一第3章第2节 波的描述教学设计.doc VIP
- (8.3.4)--构造柱建筑施工技术课程.ppt
文档评论(0)