第十六届北京市大学生数学竞赛甲乙组试题与解答.docx

第十六届北京市大学生数学竞赛甲乙组试题与解答 第十六届北京市大学生数学竞赛甲乙组试题与解答 第十六届北京市大学生数学竞赛甲乙组试题与解答 第十六届北京市数学比赛试卷答案（甲、乙组） 一、 填空（ 20 分） 1 ． y ( x 1) y 2 y e x , y (0) 1 y(x) x a ， 则 x ， 且 l i m x 2 x 0 a __________. 解 由 lim y( x) x a ，得 y(0) 0 ，利用方程，得 y (0) 2 ，得 x 2 x 0 a 1 . 2． f ( x) ex b ， x e 为无量中断点， x 1 为可去中断 (x a)( x b) 点，则 b __________ . e 解 f ( x) ex b ( x 1)( x b) 3. z f ( x, y), 2 z x y, f ( x,0) x2 , f ( 0, y) y, 则 x y f ( x, y) __________ . 解 f ( x, y) __________ x2 y 2 xy2 x 2 y . 4.du ( x2 2 yz)dx ( y 2 2 xz)dy ( z2 2xy)dz, 则 u(x, y, z) __________ . 解 u( x, y, z) __________ x3 y 3 z3 2xyz C 3 5. f ( x) 3x 1 x 2 1 2 ( x)dx, 则 f ( x) __________ . f 0 解 f ( x) 3 x k 1 x 2 , 此中 k 1 (3x k 1 x2 ) 2 dx ,得 0 k (3x k 1 x2 ) 2 dx ((9 k 2 )x 2 6kx 1 x 2 )dx k 2 9 2k 2 1 1 0 0 3 得 9k 9 2k 2 , 得 k 9 8172 93 3,3. 4 4 2 1 / 6 6. lim 1 ex2 y 2 cos(x y) dxdy _________. r 0 r 2 x2 y2 r 2 解 . 7. lim 1 f ( x) ) 4, 则 lim f ( x) __________. 1 ln(1 x 3 x 0 2x 1 cos x x 0 解 2 ln 2 8. f ( x) f ( x) , f (1) a, 则 f (2) __________ . x 1 解 f , f ( x ) , (1) , f ( ) , f (2) 2 . x 9. L : x 2 y2 1,周长为 l ,则 (x 2 y) 2ds __________. 4 L 解 4l 设 x 0, 或 x 1, 则级数 ln (1 (n 1) x)(1 2nx) 的和为 _______. 10. n 1 (1 nx)(1 2(n 1) x) 解 ln (1 (n 1) x)(1 2nx) = n 1 (1 nx)(1 2( n 1) x) (ln (1 (n 1) x) ln (1 nx ) ) lim 1 nx ln 2. . n 1 (1 2( n 1) x) (1 2nx) n 1 2nx 二、 f ( x) 存在，且 x3 f (x)dx x2 cos x 4x sin x 6 cos x C, 求 f ( x) . 解 x3 f (x) 2x cos x x 2 sin x 4x cos x 4 sin x 6 sin x 问题：可能是设 f (x) 连续，积分才存心义。 f ( x) sin x cosx C. x 2 x 三、 y 1 1 ，作图形并指出去单一区间，最值，极 1 x 1 x 2 值，拐点 . 解 x 0, y 1 1 , y 1 1 0, y 单一增添。 1 x 3 x 1 x 2 3 x 2 2 / 6 x 0, y 2 2 0， y 2 2 0, 1 x 3 3 x 3 1 x 3 3 x 3 0 x 2, y 1 1 1 1 0, x 1， x 3 , y 1 x 2 3 x 2 1 x 0 x 2, y 2 2 0, 1 x 3 3 x 3 y 0 0, y 2 0 0，极小值 = y 1. 1 x 2, , y 1 x 1 , y 1 1 0, y 单一减少。 1 x 1 1 x 2 x 1 2 x 2, , y 2 2 0 1 x 3 x 1 3 没有拐点 . y 2 4 , y 0 4 为极大值，而且 4 为最大值。 3 3 3 四、 0 f (x) c( R), f (x) x sin 4 x ，求 1 f ( x)dx . f ( x t )dt