中考数学-锐角三角函数应用方位角与方向角问题.pdfVIP

中考数学 锐角三角函数应用方位角与方向角问题 复习引入 本节课将应用解直角三角形知识解决测量中的方位角问题． 探究新知 （一）方位角与方向角 1．方向角 教师讲解：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90 °的角叫做方向角．如课本图 28 ．2-1 中的目标方向线OA，OB，OC 分别表示北偏东60 °，南偏东30°，北偏西70 °．特 别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45 °的角，如图28 ．2-1 的目标方向线OD 与正南方向成45 °角，通常称为西南方向． 图28 ．2-1 图28 ．2-2 2 ．方位角 教师讲解：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．• 如课 本图28 ．2-2 中，目标方向线PA，PB ，PC 的方位角分别是40 °，135°，225 °． （二）用解直角三角形的方法解决实际问题方法要点 教师讲解：在解决实际问题时，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题， 要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）• 之间的关系， 这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解． 解题时一般有以下三个步骤： 1．审题．按题意画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清已知和未知． 2 ．将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角 - - 1 - - 三角形的问题．如果没有现成是直角三角形可供使用，可通过作辅助线产生直角三角形， 再把条件和问题转化到这个直角三角形． 3 ．根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、• 角）之间关系解有 关的直角三角形． （三）例题讲解 教师解释题意：如课本图28 ．2-8 所示，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65 °方向，• 距 离灯塔80 海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，• 到达位于灯塔P 的南偏东34°方 向上的B 处．这时，海轮所在的B 处距离灯塔P 有多远？（精确到0.01 海里） 教师提示：这道题的解题思路与上一节课的例4 相似．因为△APB 不是一个直角三角 形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形，△ACP 与△PCB ．PC• 是东西走向的一 条直线．AB 是南北走向的一直线，所以AB 与PC 是相互垂直的，即∠ACP 与∠BDP• 均为 直角．再通过65 度角与∠APC 互余的关系求∠APC ；通过34 度角与∠BPC• 互余的关系求 ∠BPC ． 教师分析后要求学生自行做完这道题．学生做完后教师再加以总结并板书． 解：如课本图28 ．2-8，在Rt△APC 中， PC=PA ·cos （90 °-65°） =80 ×cos25 °≈80 ×0.91=72.8 ． 在Rt△BPC 中，∠B=34 °， PC ∵sinB= ， PB PC 72.8 72.8 ∴PB=   ≈130.23． sin B sin 34 0.559 - - 2 - - 因此，当海轮到达位于灯塔P 的南偏东34°方向时，它距离灯塔P 大约130.23 海里． 教师讲解：解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，• 要根据实际情况灵活运用相关 知识．例如，当我们要测量如课本图28 ．2-9 所示大坝的高度h 时，只要测出仰角α和大坝 的坡面长度L，就能算出h=Lsin α．但是，当我们要测量如课本图28 ．2-10 所示的山高h 时，问题就不那么简单了．这是由于不能很方便地得到仰角α和山坡长度L ． 图28 ．2-9 图28 ．2-10 与测坝高相比，测山高的困难在于：坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的．怎样解决 这样的问题呢？ 我们设法“化曲为直，以直代曲”．我们可以把山坡“化整为零”地划分