2020年高考数学母题题源解密18 等比数列（山东专版解析版）.docx

专题18 等比数列 【母题题文】已知公比大于的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和． 【试题解析】（1）设的公比为．由题设得，． 解得（舍去），．由题设得． 所以的通项公式为． （2）由题设及（1）知，且当时，． 所以 ． 【命题意图】 1.考查等比数列的通项公式及求和公式； 2.考查数列的求和方法； 3.考查运算求解能力、转化与化归思想以及分析问题、解决问题的能力. 【命题方向】 等比数列一直是高考的热点，尤其是等比数列的通项公式及其性质，等比数列的前n项和等为考查的重点，有时会将等差数列和等比数列的通项、前n项和及性质综合考查，解题时要注意性质的应用，充分结合函数与方程、分类讨论、化归与方程等数学思想解题.[ 【答题模板】 等比数列基本运算的解题思路： （1）设基本量a1和公比q． （2）列、解方程组：把条件转化为关于a1和q的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量． 【方法总结】 1.求等比数列的通项公式，一般先求出首项与公比，再利用求解．但在某些情况下，利用等比数列通项公式的变形可以简化解题过程．求解时通常会涉及等比数列的设项问题，常用的设项方法为：（1）通项法．设数列的通项公式来求解；（2）对称设元法． 2.等比数列的判定与证明常用的方法： （1）定义法：为常数且数列是等比数列． （2）等比中项法：数列是等比数列． （3）通项公式法：数列是等比数列． （4）前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列． 其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 注意： （1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． （2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要. 3.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n=p＋q，则am·an=ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用. 4.求数列的前n项和，根据数列的不同特点，通常有以下几种方法： （1）公式法求和：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和. （2）倒序相加法：如果一个数列的前项中，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法. （3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求. （4）裂项相消法：即将数列的通项拆成结构相同的两式之差，然后消去相同的项求和.使用此方法时必须注意消去了哪些项，保留了哪些项，一般未被消去的项有前后对称的特点. 常见的裂项方法： ①，特别地，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ； ②，特别地，当 SKIPIF 1 0 时，； ③. （5）分组转化求和法：有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列 SKIPIF 1 0 是等差数列或等比数列或常见的特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可. （6）并项求和法：一个数列的前项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．] 1．（2020·四川省绵阳南山中学高三月考）记Sn为等比数列的前n项和.若，，则=（ ） A．2–21–n B．2n–1 C．1–2n D．21–n–1 【答案】B 【解析】 【分析】 利用等比数列的通项公式求出基本量，再根据前项公式可得结果. 【详解】 设等比数列的公比为， 则，所以，则 ， 所以，所以， 所以，所以. 故选：B. 【点睛】本题考查了等比数列通项公式，考查了等比数列的前项和公式，属于基础题. 2．（2020·河南洛阳·高三月考）在正项数列中，，且，令，则数列的前2020项和（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由对数的运算可得数列是等比数列，进而可求出，利用裂项相消法可求得 【详解】 因为. 所以， 所以， 即数列是以为公比的等比数列， 由，得， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查裂项相消法求和，是基础题. 3．（2020·浙江高三月考）已知数列的前项和为，，当且时，，，成等比数列，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据条