2020年高考数学母题题源解密18 直线与椭圆的位置关系（原卷版）.docxVIP

专题18 直线与椭圆的位置关系 【母题来源一】【2020年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B． （1）求△AF1F2的周长； （2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求的最小值； （3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标． 【答案】（1）6；（2）-4；（3）或． 【解析】（1）∵椭圆的方程为， ∴，， 由椭圆定义可得：． ∴的周长为， （2）设，根据题意可得． ∵点在椭圆上，且在第一象限，， ∴， ∵准线方程为， ∴， ∴，当且仅当时取等号． ∴的最小值为． （3）设，点到直线的距离为． ∵，， ∴直线的方程为， ∵点到直线的距离为，， ∴， ∴， ∴①， ∵②， ∴联立①②解得，． ∴或． 【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根据推出是解答本题的关键． 【母题来源二】【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1． 已知DF1=． （1）求椭圆C的标准方程； （2）求点E的坐标． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）设椭圆C的焦距为2c. 因为F1(?1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1. 又因为DF1=，AF2⊥x轴， 所以DF2=， 因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2. 由b2=a2?c2，得b2=3. 因此，椭圆C的标准方程为. （2）解法一：由（1）知，椭圆C：，a=2， 因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1. 将x=1代入圆F2的方程(x?1) 2+y2=16，解得y=±4. 因为点A在x轴上方，所以A(1，4). 又F1(?1，0)，所以直线AF1：y=2x+2. 由，得，解得或. 将代入，得 ， 因此. 又F2(1，0)，所以直线BF2：. 由，得，解得或. 又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以. 将代入，得. 因此. 解法二：由（1）知，椭圆C：. 如图，连结EF1. 因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB， 从而∠BF1E=∠B. 因为F2A=F2B，所以∠A=∠B， 所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A. 因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴. 因为F1(?1，0)，由，得. 又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以. 因此. 【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力. 【母题来源三】【2018年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，焦点，圆O的直径为． （1）求椭圆C及圆O的方程； （2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P． ①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标； ②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程． 【答案】（1）椭圆C的方程为，圆O的方程为；（2）①；②． 【解析】（1）因为椭圆C的焦点为，可设椭圆C的方程为． 又点在椭圆C上，所以，解得 因此椭圆C的方程为． 因为圆O的直径为，所以其方程为． （2）①设直线l与圆O相切于，则， 所以直线l的方程为，即． 由消去y，得．（*） 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点， 所以． 因为，所以．因此点P的坐标为． ②因为三角形OAB的面积为，所以，从而． 设，由（*）得， 所以． 因为，所以，即， 解得舍去），则，因此P的坐标为． 综上，直线l的方程为． 【命题意图】 （1）了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. （2）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质. （3）了解圆锥曲线的简单应用. （4）理解数形结合的思想. 【命题规律】 解析几何的解答题一般难度较大，多为试卷的压轴题之一，常考查直线与圆锥曲线的位置关系及最值范围、定点、定值、存在性问题及证明问题，多涉及最值求法，综合性强.从近三年高考情况来看，均考查直线与椭圆的位置关系，常与向量、圆等知识相结合，解题时，充分利用数形结合思想，转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指导作用，以及注重对运算能力的培养. 【方法总结】 （一）求椭圆的方程有两种方法: （1）定义法.根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. （2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是： 第一步，做判