高等数学课件：11.7 多元函数的极值与最值.ppt

解 解 例 试求 n 个正数 , 在其和为定值 l 的条件下 , 什么时候其乘积最大 , 并由此证明: 设 n 个正数为 , 则问题是解 构造拉格朗日函数: 由于此点为 f 唯一可能的最值点 , 且 f 的最大值 存在 . 所以当 时 , f 取得最大值 即 解 例 求旋转椭球面 在第一象限 部分上的一点 , 使该点处的切平面在三个坐标 轴上的截距平方和最小 设 M = (x , y , z ) ( x > 0 , y > 0 , z > 0 ) 是椭球 面 S 上的一点 , 则椭球面在 M 处的法向 即 切平面 ? : 即 截距: 目标函数: 约束条件: 构造拉格朗日函数: ? 所以 , 可能的最值点为 由于 P 是 u 的唯一可能的最值点 , 且问题本身 最小值存在 , 故知 就是 u 的 最小值点 所以 , 所求点为 解 例 对于任意正数 a , b , c , 证明 : 设 , 即 a + b + c = 5l 我们证明: 在 a + b + c = 5l 的条件下 设 f (a , b , c) = abc3 构造拉格朗日函数: 故知 f 在 P = ( l , l , 3l ) 处取得最大值 , 由于 P = ( l , l , 3l ) 是 f 的唯一可能的最值点 , 且问题本身最小值存在 , 于是有 即 §11.7 多元函数的极值与最值 1o 极值的概念 定义 设 z = f (x , y) , 若存在 P0 = (x0 , y0) 的某 邻域 N( P0 , δ ) , 使对任意的 x ? N( P0 , δ ) , 有 ( 或 ) 则称 f (x0 , y0) 为 f (x , y) 的一个局部极小值 ( 或 局部极大值 ) , 称 P0 = (x0 , y0) 为 f 的局部极小值 点 ( 或局部极大值点 ) 说明: 若上面的不等号 > ( 或 < ) 换成 ? ( 或 ? ) 则称为非严格的极值和极值点 2o 局部极值的计算 首先研究极值点的特征 , 即研究必要条件 设 P0 = (x0 , y0) 是 z = f (x , y) 的局部极小值点 , z = f (x , y) 在 P0 处可微 对任意的 x ? N( P0 , δ ) 则根据定义 , 存在 N( P0 , δ ) , 使 若令 则有 ? x = x0 是 h(x) 的局部极小值点 y = y0 是 g(y) 的局部极小值点 由 f (x , y) 在 P0 处可微 ? h(x) 在 x = x0 处可导 g(y) 在 y = y0 处可导 于是在 P0 点处成立 定理 ( 可微函数极值点的必要条件 ) 设 z = f (x , y) 在 P0 = (x0 , y0) 处可微 , P0 是 f (x , y) 的极值点 , 则有 说明: (1) 使 的点称为 f (x , y) 的 稳定点 ( 或驻点 ) (2) 可微函数的极值点必为 f (x , y) 的稳定点 , 即为使梯度为零的点 例 讨论下列函数的极值 (1) (2) (3) 解 (1) 在 R2 上可微 ? 稳定点为 (0 , 0) 又 ? (0 , 0) 是 f (x , y) 的极小值点 极小值: f (0 , 0) = 1 (2) 在 R2 上可微 ? 稳定点为 (0 , 0) 又在点 (a , 0) 处 : 在点 (0 , b) 处: ? 在 (0 , 0) 点的任意邻域内 , 都有大于 f (0 , 0) = 0 及小于 f (0 , 0) = 0 的点 , 所以 (0 , 0) 不是极值点 (3) ? f (x , y) 无稳定点 又注意到 ? (0 , 0) 是 f (x , y) 的极小值点 , 极小值 f (0 , 0) = 0 说明: 上例说明 (2) 偏导数不存在的点也可能为极值点 临界点: 满足 的点或者偏导数不 存在的点称为临界点 定理 ( 极值点的必要条件)