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3.2 全集与补集
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解全集、补集的概念.(重点)
2.会求给定集合的补集.(重点)
3.熟练掌握集合的综合运算,并能解决简单的应用问题.(难点)
1.通过学习全集、补集的概念,培养数学抽象素养.
2.通过集合间的交、并、补的运算,提升数学运算、逻辑推理素养.
阅读教材P12从本节开始至P14“练习”以上部分,完成下列问题.
1.全集
(1)定义:在研究某些集合时,这些集合往往是某个给定集合的子集,这个给定的集合叫作全集,全集含有我们所要研究的这些集合的全部元素.
(2)记法:全集通常记作U.
思考:全集唯一吗?我们研究奇数或偶数的有关问题时,应选取的全集通常是什么?
[提示] 全集不唯一,通常选取整数集作为全集.
2.补集
文字语言
设U是全集,A是U的一个子集(即A?U),则由U中所有不属于A的元素组成的集合称为U中子集A的补集(或余集),记作?UA
符号语言
?UA={x|x∈U,且x?A}
图形语言
性质
A∪(?UA)=U,A∩(?UA)=?,?U(?UA)=A
1.已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,4},B={2,4},则?U(A∪B)=( )
A.{1,3,4} B.{3,4}
C.{3} D.{4}
C [因为A∪B={1,2,4},U={1,2,3,4},所以?U(A∪B)={3}.]
2.设全集U={1,2,3,4,5},A={1,2,4},B={2},则A∩(?UB)=( )
A.{1,2,3,4,5} B.{1,4}
C.{1,2,4} D.{3,5}
B [?UB={1,3,4,5},又A={1,2,4},则A∩(?UB)={1,4}.]
3.若全集U=R,集合A={x|x≥1},则?UA=________.
{x|x1} [如图所示:
由上图知,?UA={x|x1}.]
4.设全集U={1,2,3,4,5},?UA={1,3,5},则A=________.
{2,4} [由补集的定义知,A={2,4}.]
Venn图在补集中的应用
【例1】 图中阴影部分所表示的集合是( )
A.B∩?U(A∪C) B.(A∪B)∪(B∪C)
C.(A∪C)∩(?UB) D.?U(A∪C)∪B
A [阴影部分可表示为B∩?U(A∪C).]
1.当阴影是凹陷图形时,常用补集表示;
2.当题目涉及多个集合的补集时,常利用Venn图分析解决;
3.应用题常用Venn图分析求解.
1.已知全集U,集合A={1,3,5,7,9},?UA={2,4,6,8},?UB={1,4,6,8,9},则集合B=________.
{2,3,5,7} [借助Venn图,
如图所示.
得U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
因为?UB={1,4,6,8,9},
所以B={2,3,5,7}.]
补集的有关运算
【例2】 (1)设全集U=R,集合A={x|x≥-3},B={x|-3x≤2},则?UA=______,?UB=________.
(2)设U={x|-5≤x-2,或2x≤5,x∈Z},A={x|x2-2x-15=0},B={-3,3,4},则?UA=________,?UB=________.
(1){x|x-3} {x|x≤-3,或x2}
(2){-5,-4,3,4} {-5,-4,5}
[(1)因为A={x|x≥-3},
所以?UA=?RA={x|x-3}.
又因为B={x|-3x≤2},
所以?UB={x|x≤-3,或x2}.
(2)法一:在集合U中,
因为x∈Z,则x的值为-5,-4,-3,3,4,5,
所以U={-5,-4,-3,3,4,5}.
又A={x|x2-2x-15=0}={-3,5},
所以?UA={-5,-4,3,4},?UB={-5,-4,5}.
法二:(Venn图法)可用Venn图表示
则?UA={-5,-4,3,4},?UB={-5,-4,5}.]
求集合补集的策略
?1?如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,然后结合补集的定义来求解.另外,针对此类问题,在解答过程中也常常借助Venn图来求解.这样处理起来,相对来说比较直观、形象,且解答时不易出错.
?2?如果所给集合是无限集,在解答有关集合补集问题时,则常借助数轴,先把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后根据补集的定义求解.
2.(1)已知集合A,B均为全集U={1,2,3,4}的子集,且?U(A∪B)={4},B={1,2},则A∪?UB=( )
A.{3} B.{4}
C.{3,4} D.?
(2)设集合S={x|x-2},T={x|-4≤x≤1},则(?RS)∪T等于( )
A.{x|-2x≤1}
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