降次解一元二次方程教材详解及典例分析.pdf

22.2 降次 解一元二次方程 【重点难点点拨】 重点： （1）能够根据方程的特点及要求灵活运用开平方法、配方法、求根公式法、因式分 解法解一元二次方程； （2 ）领会降次──转化的数学思想． （3 ）求根公式的推导和公式法的应用． 难点与关键： （1）通过根据平方根的意义解形如 x2 =n ，知识迁移到根据平方根的意义解形如 （x+m ） 2 =n （n ≥0 ）的方程． （2 ）不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧． （3 ）一元二次方程求根公式法的推导． （4 ）让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便． 【规律方法指津】 1、一元二次方程解法的选择顺序 先特殊，后一般，即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法解，不能用这两种特殊 方法时， 再用公式法， 没有特殊要求时， 一般不用配方法， 因为用配方法解方程比较麻烦。 2 （1）对于形如 mx h h 的关于 x 的方程，应选用直接开平方法； （2 ）对于右边是 0，且左边易于分解因式的方程，应选用因式分解法； （3 ）用公式法解一元二次方程时，要先求出 b2 4ac 的值，当 b2 4ac 0 时，方 程有实数根，可以继续把根求出；当 b2 4ac 0 时，方程没有实数根。 2 、运用整体思想解方程 整体思想就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在 问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼 此独立，但实质又相互紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法。整体思想在处理数学 问题时有着广泛的应用。 2 1 例、用配方法解方程 x 1 2 x 1 0. 2 分析：本题可以把方程先整理成一般形式，然后用配方法求解；但观察方程的特点， 也可以把 x 1 视为一个整体，直接用配方法求解。 2 1 解： x 1 2 x 1 . 2 2 1 x 1 2 x 1 1 1, 2 2 1 x 1 1 , 2 2 1 2 x 2 ,x 2 . 2 2 2 2 ∴ x1 2 , x2 2 . 2 2 金钥匙： x 既表示一个字母，也表示代数式。象本例中把 x 1 视为一个字母，运用 整体思想，而不必把式子展开求解。 3 、转化思想的应用 转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，在研究数学问题时，我们通常是 将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具 体的问题，将实际问题转化为数学问题，我们也常常在不同的数学问题之间互相转化，可 以说在解决数学问题时转化思想几乎是无处不在的。如本章学习的一元二次方程就是通过 对方程变形，通过降次，把它转化为一元一次方程的。即： 【知识详细解读】 1：用直接开平方法解一元二次方程 2 对于形如 x m n 的