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(完整版)高三数学备考冲刺140分问题18等差数列等比数列的证明问题含解析 (完整版)高三数学备考冲刺140分问题18等差数列等比数列的证明问题含解析 PAGE / NUMPAGES (完整版)高三数学备考冲刺140分问题18等差数列等比数列的证明问题含解析 问题 18 等差数列、等比数列的证明问题 一、考情分析 等差数列与等比数列的证明是高考热点，一般出现在解答题第一问，等差数列与等比数列的证明难度虽然 不大，但有一定的技巧性，且对规范性要求较高，解题时要避免会而不对或对而不全 . 二、经验分享 1. 等差数列证明方法主要有： ⑴定义法： an— an— 1 （nA 2, n? N* ）为同一常数 ？ ｛an ｝是等差数列； （2）等差中项 法： 2an = an — 1 + an+ i（n》 2, n? N* ）成立 ？｛an｝是等差数列； （3）通项公式法： an= pn + q（ p,q 为常数 ）对任意的 正整数 n 都成立 ？ ｛ an｝是等差数列； （4）前 n 项和公式法：验证数列 ｛an｝的前 n 项和 S = An 2 + Bn （ A B 为常数 ） 对任意的正整数 n 都成立 ？ ｛ an｝是等差数列； 1 1 an+ 2 — 2an+1 1 【点评】证明数列 an+1 — 2an 成等比数列的关键是利用已知得出 1 = 2. an + 1 — 2an 【小试牛刀】【安徽省安庆一中、山西省太原五中等五省六校（ K12 联盟） 2018 届高三上学期期末】已知数 列满足，且 . （ 1 ）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式 ; （1） 2 ）由（ 1） 知 ,???, 1 2 1 1 —-—11 ”1. 1 ， 对任意自然数成等差数列 ，成等比数列 ?证明 : 数列为等差数列 . （ 2）令，，求数列的前项和 . 【点评】本题依据条件得到与的递推关系 ，通过消元代换构造了关于的等差数列 ，使问题得以解决 ?通过挖 掘的意义导出递推关系式 ，灵活巧妙地构造得到中项性质 ，这种处理大大简化了计算 . I 1| 【小试牛刀】已知等比数列 ｛an｝的公比 q=— 2. ?， - fir . - 1 （1）若 a3= 4,求数列 ｛ &｝的前 n 项和； ⑵ 证明：对任意 k? N*, ak, ak+2 , ak+1 成等差数列 . 1 2 1 1 x 1 — — 2 1 n 【解析】 ( 1)由通项公式可得 a = a — 2 = 4,解得 a = 1, 再由等比数列求和公式得 S = 1 = 3 1 1 1 —-二 1 n— 1 2+—2 3 . ⑵ 证明： T k? + — 1k * , k+ 2 k k+1 — (aq + ag ) N ??? 2a — ( a + a ) = 2ag k— 1 2 “、 =ag (2 q — q— 1) k— 1 1 2 1 —— 一 =ag ? 2 — 2 — — 2 — 1 =0, ? 2ak+ 2— (ak + ak+1) = 0, ?对任意 k ? N, ak, ak+2, ak+1 成等差数列 . (三 ) 反证法 解决数学问题的思维过程 ，一般总是从正面入手 ，即从已知条件出发 ，经过一系列的推理和运算 ，最后得到所 要求的结论 ，但有时会遇到从正面不易入手的情况 ，这时可从反面去考虑 ?如： 【例 3】设是公比不相等的两等比数列 ，?证明数列不是等比数列 . 【证明】设的公比分 别为出噫亠入为证討』不是等比数列只需证 h? ?事 【点评】本题主要考查等比数列的概念和基本性质、推理和运算能力 ，对逻辑思维能力有较高要求 . 要证不 是等比数列 ，只要由特殊项 ( 如) 就可否定 . 一般地讲 _,否定性的命题常用反证法证明 ，其思路充分说明特殊 qq = (q+3 ) ( 化 +氏)=( 码+ 3X^0* + 愛) a iP* +60 角 “ = + ? 3 化的思想方法与正难则反的思维策略的重要性 【7 小试牛刀】【江苏省泰州市 c2019 届高三上学期期末】已知数列｝ T?卅制 前 n 项和为 Sn, 且对任意的 n ? N*, n》2 都有。 ( 1 ) 若 0, 求 r 的值； 数列訂能否是等比数列？说明理由； 当 r = 1 时，求证：数列訂是等差数列。 【解析】 ( 1) 令 n= 2, 得 : 严怦 I" 』 即:, 化简 , 所以，，解得： r = 1. ( 2 ) 假设是等比数列，公比为，则，且 , 解得或 , 由， 可得， 兀■ 2 叫芥斫 qg Z) 所以， 两式相减，整理得， 两边同除以，可得， 因为，所以， 【小试牛刀】已知等比数列 ｛ a n｝的公比为 q,记