存在性与恒成立.docxVIP

专题训练恒成立存在性问题 知识点梳理 恒成立问题的转化：a f 能成立问题的转化：a f 恰成立问题的转化： a f x在M上恒成立 x在CrM上恒成立 1、 2、 3、 另一转化方法：若x D, f (x) fmin (X) A，若 x fmax(X) B ? D, 4、设函数f x、 贝 U fmin X gmin X 5、设函数f X、 贝S fmax X gmax X x恒成立 X能成立 a f x在 a f X max ； a f X恒成立 a f x min f Xmin ； a f X能成立 a f x max a 的解集为 M上恰成立 a f x A在D上恰成立，等价于f (x)在D上的最小值 f (x) B在D上恰成立， 则等价于f(x)在D上的最大值 ，对任意的 ，对任意的 Xi Xi 存在X2 存在X2 ，使得f Xi ，使得f Xi g X2， g X2， 2)对任意Xi [i,2],X2 [2,4]，都有f(Xi) g(x2)恒成立，求实数a的取值范围； 【分析：】 思路、等价转化为函数f(x) g(x) 0恒成立，在通过分离变量，创设新函数求 最值解决. 思路、对在不同区间内的两个函数 f(x)和g(x)分别求最值，即只需满足 fmin(x) gma)(x)即可. 简解：(i)由 值大于a即可.对 3 X X 2x2 i X 求导，(x) 2X4 增函数，min (X) 2 a x2 2ax i — x x3 (x) 2x2 i 求导，e (2x2 i) I，所以a的取值范围是0 a i ［-,2］，都有 h(x) 成立，只需满足 7 0, 3 (X) Xi的最小 故(x)在x ［i,2］是 6、 设函数f 则f X在xi 7、 设函数f f max X g min x 8、 设函数f f min X gmax x 9、 若不等式 ，对任意的 g x a , b上的值域M是g xg x，存在Xi Xi a , b， 在X2 a , b，存在 X2 c,d，使得 f Xi 存在X2 c,d上的值域N的子集。 ,使得f Xi =g X2 即：M g X2 N。 则 g X，存在Xi a , b，存在X2 c, d，使得f Xi g X2 和图象在函数y 10、 若不等式f x 和图象在函数y g g x在区间D上恒成立，则等价于在区间 D上函数y 图象上方； x在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数y 图象下方； 题型一、常见方法 i、已知函数f(x) i)对任意X [i,2]， 2ax 1， g(x)-，其中 a 0， x 0 . x 都有f(x) g(x)恒成立，求实数a的取值范围; 2 3 . i0在x 3 b，对任意a a 2、设函数h(x)- x 实数b的取值范围. 分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数, 本题为例，实质还是通过函数求最值解决. 方法i ：化归最值， 方法2:变量分离， h(x) i0 方法3:变更主元, b i0 (x i (a) — a x hmax(x) i0 ； x)或a x2 (i0 i0 b)x ； I’2】 简解：方法i：对h(x) 由此可知, i0 h(i) i0 g(x) x i h(x)在［- ,i］上的最大值为 4 i 4a — b i0 b 4 i a b i0 39 /4a 4 9 a 3、已知两函数f (x) f (Xi) g X2 ,则实数 i -,i]恒成立，求 再处理另一个参数. a (x . a)(x . a) ~2 2 , x i h(：)与h(i)中的较大者. 4 b求导, h(x) ,对于任意a 已,2]，得b的取值范围是 2 x , m的取值范围为 g(x) m，对任意Xi 0,2，存在X2 i,2，使得 解析：对任意Xi 0,2，存在X2 i 上的最小值-m不大于f(x) 4 i,2 ,使得 f (Xi) g X2 等价于 g(x) x2在0,2上的最小值0,既f m X -m 在 i,2 2 4.已知f(x) 2ax - Inx在x 1与x -处都取得极值.函数g(x)=x2 2mx+m , x 2 若对任意的X!［丄,2］，总存在X2 ［-,2］，使得、g(xj f(X2)Inx2,求实数m的 2 2 取值范围。 上恒大于0，故有: f 2 0 x2 4x 3 0 x 3或 x 1 f 2 0 x2 1 0 x 1 或 x 1 解析：Q f (x) 2ax b lnx, x f (x) 2a 2 !q x f (x) 2ax卫 x In x 在 x 处都 取得极值二 1 f(1) 0，f(2) 2a 2a b 1 4b 2 0 解得：a b 1 3x2 二 a b - 3 f(x) 2 —2(x 1)(x