求解微分方程.ppt

?本节讨论一阶线性微分方程 (1) (2) 叫做对应于非齐次线性方程(1)的齐次线性方程。 Q(x) ? 0时称为一阶非齐次线性微分方程， Q(x) ? 0时称为一阶齐次线性微分方程。 第23页，共76页，2022年，5月20日，5点16分，星期五 分离变量法 这里 表示P(x)的任一原函数。 (3) 一阶齐次线性方程(2)的解法 得方程(2)的通解 注：通解(3)包含了方程(2)的全部解。 第24页，共76页，2022年，5月20日，5点16分，星期五 常数变易法，令 一阶非齐次线性方程(1)的解法 第25页，共76页，2022年，5月20日，5点16分，星期五 用常数变易法解非齐次方程的步骤： 1. 求出相应的齐次方程的通解； 2. 将通解中的任意常数C 变为函数C(x)，然后代入 非齐次方程求出C(x)。 3.非齐次方程的通解等于对应齐次方程的通解与 方程的任意一个特解之和。 第26页，共76页，2022年，5月20日，5点16分，星期五 例 解方程 第27页，共76页，2022年，5月20日，5点16分，星期五 习题(315)：1(3)(9)，2(5)，6，7 (3) 。 作业 第28页，共76页，2022年，5月20日，5点16分，星期五 §5 可降阶的 高阶微分方程 第29页，共76页，2022年，5月20日，5点16分，星期五 三种可降阶的高阶微分方程 一、 型的微分方程 二、 型的微分方程 三、 型的微分方程 第30页，共76页，2022年，5月20日，5点16分，星期五 y(n) ? f(x) 型 积分一次 再积分一次 共积分n次，便得到含n个任意常数的通解： ——可逐次积分求得通解 第31页，共76页，2022年，5月20日，5点16分，星期五 例 求 y’ ’’? e2x ? cosx 的通解。 解 第32页，共76页，2022年，5月20日，5点16分，星期五 y?? ? f(x, y?) 型 令 y ? ? p ，方程变为 p ? ? f(x, p)， 设其通解为 p ??(x, C1) ， ——不显含y 即 y’??(x, C1) ， 说明：对于方程 y(n) ? f(x, y(n?1))，可令y(n?1) ? p 而化为 一阶微分方程 p ? ? f(x, p)。 第33页，共76页，2022年，5月20日，5点16分，星期五 例 求微分方程 (1?x2)y ??? 2xy ? 的通解及满足 初始条件 y(0) ?1, y’(0) ?3 的特解。 y ? x3 ?3x ?1。 例 解方程 第34页，共76页，2022年，5月20日，5点16分，星期五 这时仍令 y ? ? p 作为新未知函数， 方程变为 ，设其通解为 p ??( y, C1)，则 y??? f(y, y?)型 ——不显含x 第35页，共76页，2022年，5月20日，5点16分，星期五 例 解方程 例. 解初值问题 第36页，共76页，2022年，5月20日，5点16分，星期五 习题(P323)：1(2)(6)(10)，2(2)(4)(5)， 3 作业 第37页，共76页，2022年，5月20日，5点16分，星期五 §6 高阶线性微分方程 第38页，共76页，2022年，5月20日，5点16分，星期五 一、二阶线性微分方程举例 例1 求弹簧振子的运动规律x(t)。 x O x 自由振动的微分方程 强迫振动的微分方程 第39页，共76页，2022年，5月20日，5点16分，星期五 这就是串联电路的振荡方程，其中 例2 设由电阻R、电感L、电容C和电源E ?Emsin?t 串联组成的电路中，电容C两极板间的电压为uC ， 则有 第40页，共76页，2022年，5月20日，5点16分，星期五 二、函数的线性相关与线性无关 定义 设 y1, y2 , … , yn 是定义在区间I上的n个函数， 如果存在 n 个不全为零的常数 k1, k2 ,…, kn ， 使在 I上 就称这n个函数在 I 上线性相关， 否则称为线性无关。 第41页，共76页，2022年，5月20日，5点16分，星期五 ?例如：1 , cos2x , sin2x 在(?? ? ??)线性相关； 1 , x , x2 在任何区间上线性无关。 说明：1) 线性相关 ?? 其中至少有一个函数可由其 它函数线性表出； 2) y1, y2 ,…, yn 线性无关?? 若 k1 y1 ? k2 y2 ? … ?k