南京大学2020年和2020年数学分析考研试题及解答.docx

南京大学 2020 年数学分析考研试题 — 设 f (x) 为 R1 上的周期函数，且 lim f (x) ? 0 ，证明 f 恒为 0。 x??? 二 设概念在 R2 上的二元函数 f (x, y) 关于 x ， y 的偏导数均恒为零，证明 f 为常值函数。 三 设 f n (x) (n ? 1,2,...) 为 Rn 上的一致持续函数，且lim f n?? n (x) ? f (x) ， ?x ? R1， 问： f (x) 是不是为持续函数？假设答案为“是”，请给出证明；假设答案为“否”，请给出反例。 四 是不是存在[0,1] 区间上的数列{x } ，使得该数列的极限点（即聚点）集为[0,1] ，把极限点集换成(0,1) ，结 n 论如何？请证明你的所有结论。 五 设 f (x) 为[0, ??) 上的非负持续函数，且? ?? 0 f (x)dx ? ?? ，问 f (x) 是不是在[0, ??) 上有界? 假设答案为 “是”，请给出证明；假设答案为“否”，请给出反例。 1 六 计算由函数 f 1 (x) ? x2 和 f 22 2 (x) ? ? x2 ? 1的图像在平面 R2 上所围成区域的面积。 七 计算积分 ?? e?(2 x2 ?2 xy ? y2 ) dxdy 。 R2 八 计算积分 ??? xyzdxdydz ，其中? 为如下区域： ? ? ? {( x, y, z) ? R3 : x ? 0, y ? 0, z ? 0, x ? y ? z ? a} ， a 为正常数。 ?n  ?? a 九 设 a n ? 0 (n ? 1,2,...) ， S ? n a ，证明：级数 k n 是收敛的。 S 2 k ?1 n?1 n  ?2 z 十 方程 x2 ? 2 y2 ? 3z3 ? 2xy ? z ? 7 在(1,?2,1) 周围决定了隐函数 z ? z(x, y) ，求 ?x?y (1,?2) 的值。 十一 求函数 f (x, y, z) ? x3 ? y3 ? z3 在约束条件 x ? y ? z ? 2 ，x2 ? y2 ? z2 ? 12 下的极值，并判定极值的类型。 十二 设 f ? C1[0,1] ，且 f (0) ? f (1)? 0 ，证明： ?1[ f (x)]2 dx ? 1 ?1[ f ?(x)]2 dx 。 0 4 0 十三 设 f (x) 为[0,? ]上的持续函数，且对任意正整数n ? 1，均有 ? ? f (x) cos nxdx ? 0 ，证明： f 为常值函数。 0 南京大学 2020 年数学分析考研试题解答 — 证明 设 f (x) 的周期为T ， T ? 0 ，那么有 f (x ? nT ) ? f (x) ，由条件知， f (x) ? lim f (x ? nT ) ? 0 ， n?? 结论得证。 二 证明 因为 ?f ? 0 ， ?f  ? 0 ， ?x ?y ?f ?f ?x ， ?y 在 R2 上持续，对任意(x, y) ? R2 ，有 f (x, y) ? f (0,0) ? ?f (? x,? y) ? x ? ?f (? x,? y) ? y ? 0 ， ?x ?y 因此 f (x, y) ? f (0,0) ，即 f (x, y) 为常值函数。三 解 f (x) 未必为持续函数。 反例： f n (x) ? ， x n1? x n x n f (x) 在 R1 上持续，又lim f n x?? n (x) ? 1 ，因此 f n ? 0,x ? 1 ? 1 (x) 在(??, ??) 上一致持续， lim f x?? n (x) ? f (x) ? ? , x ? 1 ， 2? 2 ?? 1,x ? 1 显然 f (x) 在(??, ??) 上不持续。 四 解（1）存在。取[0,1] 中的有理数形成的点集 I ? {r } ，那么有 I ? ? [0,1]。 n （2）不存在。 假假设存在 I ? {x n  } ，使得 I ? ? (0,1)，由于 I ? 是闭集，而(0,1) 为开集，矛盾，因此如此 的点列不存在。 五 未必有 f (x) 在[0, ??) 上有界，未必有 lim f (x) ? 0 。 x??? 23六 解 显然两曲线的交点横坐标为 x ? 2 3 1 ， x ? ， 23 2 3 S ? ? ? 3 [(?x2 ?1) ? x2 ]dx 122 2 1 2 3 2 3 ? 2? 0 3 (? x2 ?1)dx 2 23 2 3 0 ? 2(? x3 ? x) 2 1 2 2? 2[? ( )3 ? ] 2 3 3 1 2 2 ? 4 6 。 9 七 解 显然那