二倍角在平面几何中的应用。。.docx

二倍角在平面几何中的应用 类型1：构造等腰三角形 已知:如图,在ABC中,1=2,B=2C,求证:AC=AB+BD. 方法1:在AC上取一点E使AE=AB,可证ADEADB,BD=DE, B=AED=C+EDC,B=2C,故C=EDC,DE=EC,EC=BD,故AC=AB+BD 方法2:延长AB上至点E使BE=BD,ABC=2E,B=2C,故E=C可证ADCADE,AC=AE,故AC=AB+BD. 方法3:延长CB上至点E使BE=AB,ABC=2E,B=2C,故E=C,故AC=AE,而EAD=EDA,AE=ED,故AC=AB+BD. 2.在ABC中,ABC=2C,BD平分ABC交AC于D,AEBD于E,求证:AC=2BE. 方法1:作AF||BC,ADF、BDC为等腰三角形,AF=2BF,AF=AC,故AC=2BE, 方法2:延长AE交BC于点G,过E作EM||BC交AC于M，BCME为等腰梯形，BE＝MC，E为中点，故M为AC中点，AC＝2MC故AC＝2BE. 3.在ABC中,ABC=2C,角平分线BD,AED=60,AE=4,AC=10,求AD. 方法1:作AGBD,由上题所得结论可得BF=5,则CM=5,设AD=,则DF=5-,(5-x)+12=,= 方法2:作AGBD,AF||BC,由上题所得结论可得BG=5,则GF=5,设AD=,则DF=,D=5-,(5-)+12=,= 方法3:AG=GC,AFBD,GHAC,ABFGCH,GH=AF=2,AB=AG=,ABD～ACB得AD＝ 4.正ABC内接MED,ME、DC延长线交于N,BM=CN,MED=60,DMN=2N, 求证:DME=60 方法1：作等边BMP,易得E为PC中点,延长EM至G,使GM=MD,设ME=m,MH=n,是EN=m+n,GH=2m+n,MG=ME=2m=DE,故MDE为正三角形,故DME=60 方法2：作等边BMP,易得E为PC中点,方法2:作正DEG,证DMEGEN,故DME=60 方法3：作等边BMP,易得E为PC中点,作DG=DM,MF=NH,MFGNHD,DME为正三角形,故DME=60 方法4：作等边BMP,易得E为PC中点，G、N关于DE对称,ME=EN=EG,得正MEG,正MDE,故DME=60 方法5：作等边BMP,易得E为PC中点,M、G关于DE对称,易得正EGN,正DEG、正DEM,故DME=60 方法6:作等边BMP,易得E为PC中点,作高DH,取MD中点G,则EG||AN,得正 ADME,故DME=60. 矩形ABCD,E、F分别在AB、AD上,EFB=2AFE=2BCE,CD＝9，CE=20,则AF=? 取CE中点G,作EH||BC,由PE=PF,PB=PG,BF=EG=10,AF= 2.直角三角形斜边中线出等腰 矩形ABCD，E在CB延长线上,F为AE中点,G为BC中点,FG交DE于H,求证:HE=HG. 方法1:取DE中点K,连FK、CK,GFKC为平行四边形,故EH=GH. 方法2:取AD的中点，连接IF并延长交于K，IDEK为平行四边形,故EH=GH. 方法3:作CK=BE,ACKDBE,得FG为AKE的中位线,故EH=GH. 方法4:取AD中点K,连FK、FB,AFKBFG,又FK为ADE的中位线,故EH=GH. 方法5:AE=2BE,AD=2BG,ADE~BGF,故EH=GH. 方法6:DC=AB=2FK,EC=2KG,DCE~FKG,故EH=GH. 方法7:构中位线FK为梯形AEGP的中位线,故EH=GH. 方法8:全等CDENMG,故EH=GH. 方法9:作CK=BE,ABKDCE,故EH=GH. 正方形ABCD,E在CD的中点,F为CE的中点,求证:BAF=2DAE. 方法1:作FAB的平分线,ABGAHG、ABGADE,故BAF=2DAE. 方法2:设CF=2a,则AB=8a,取DN=3a,则AN=EN=5a,故BAF=2DAE. 方法3:作CG=4a,故BAF=2DAE. 练习题：ABC,正ADE,D、E在边BC上,C=2BAD,BE=5,EC=2,则AC=_______. 解：延长BC至点F，AC=CF，连接AF，∠CAF=∠F，而∠ACB=2∠BAD,∠ACB=∠CAF+∠F=2∠F， △BAD~△AFE，得， 而AD=AE=DE，得DE2=FE?BD， 作过A作AH⊥BC于点H，设DH=EH=x， 则AH=x，BD=5-2x，于是2x2=(5-2x)(2+) 得x=，故AC=