阶线性微分方程解得结构.pptxVIP

二阶线性微分方程 第四节二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构 一、二阶线性微分方程举例 第八章 第一页，共十六页。 一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.设时刻 t 物位移为 x(t).(1) 自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)成正比, 方向相反.建立位移满足的微分方程.第二页，共十六页。 据牛顿第二定律得则得有阻尼自由振动方程:阻力(2) 强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力则得强迫振动方程:第三页，共十六页。 求讨论上抛高度h与时间t的关系。例2. 空气的阻力与物体运动的速度成正比（比例系数为k）。解: 如右图建立坐标轴（h轴），正向朝上。设物体在时刻 t的高度为 h(t) 。在时刻t受到两个由牛顿第二定律知，力的作用，其一为重力-mg，其二为空气阻力-kv。由导数的物理意义知：以初速度 垂直上抛一质量为m的物体，如果从而得到h(t)满足的方程：第四页，共十六页。 n 阶线性微分方程的一般形式为方程的共性 (二阶线性微分方程)例1例2— 可归结为同一形式:时, 称为非齐次方程 ; 时, 称为齐次方程.复习: 一阶线性方程通解:非齐次方程特解齐次方程通解Y第五页，共十六页。 证毕二、二阶线性齐次方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证:代入方程左边, 得(叠加原理) 定理1.①第六页，共十六页。 说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解 并不是通解但是则为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 第七页，共十六页。 定义:是定义在区间 I 上的 n 个函数,使得则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关.例如， 在(?? , ?? )上都有故它们在任何区间 I 上都线性相关;又如，若在某区间 I 上则根据二次多项式至多只有两个零点 ,必需全为 0 ,可见在任何区间 I 上都 线性无关.若存在不全为 0 的常数第八页，共十六页。 两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:线性相关存在不全为 0 的使( 无妨设线性无关常数思考:中有一个恒为 0, 则必线性相关(证明略)线性无关第九页，共十六页。 定理 2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解, 数) 是该方程的通解.例如, 方程有特解且常数,故方程的通解为(自证) 推论. 是 n 阶齐次方程 的 n 个线性无关解, 则方程的通解为则第十页，共十六页。 三、二阶线性非齐次方程解的结构 的两个特解, 则定理 3.是相应的齐次方程②①设 是二阶非齐次方程的一个特解。第十一页，共十六页。 是二阶非齐次方程的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解,定理 4.则是非齐次方程的通解 .证: 将代入方程①左端, 得②①第十二页，共十六页。 是非齐次方程的解,又Y 中含有两个独立任意常数,例如, 方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而 ② 也是通解 .第十三页，共十六页。 定理 5.是对应齐次方程的 n 个线性无关特解, 给定 n 阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解第十四页，共十六页。 常数, 则该方程的通解是 ( ).设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解, 是任意例3.提示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关 . (反证法可证)第十五页，共十六页。 例4. 已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解 .解:是对应齐次方程的解,且常数因而线性无关,故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三 第十六页，共十六页。