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机器人学数学基础;杜志江 科学园C1栋 机器人研究所512室25 研究方向：医疗机器人 智能移动机器人 参考教材： 付京逊《机器人学》 蔡自兴《机器人学》 理查德·鲍尔《机器人操作手·数学·编程与控制》 ;机器人运动学;引言  机器人位置和姿态的描述;运动学研究的问题;机器人示例;动画示例; 哈佛大学Roger Brockett建立的指数积公式 运动学 滚动接触 非完整控制 数学基础-刚体运动 参考文献：机器人操作的数学导论 作者：理查德·摩雷 李泽湘 夏卡恩·萨斯特里 翻译：徐卫良 钱瑞明（东南大学）;丹纳维特（Denavit）和哈顿伯格（Hartenberg） 于1955年提出了一种矩阵代数方法解决机器人的运动学问题—D-H方法 具有直观的几何意义 能表达动力学、计算机视觉和比例变换问题 其数学基础即是齐次变换;第二章 数学基础— 齐次坐标和齐次变换;2.1 点和面的齐次坐标2.1.1 点的齐次坐标 ;[例]：; 齐次坐标与三维直角坐标的区别; 几个特定意义的齐次坐标：;2.1.2 平面的齐次坐标;[例]：;2.2 旋转矩阵及旋转齐次变换2.2.1 旋转矩阵 ;当动坐标系ΣO′uvw绕O点回转时，求P点在固定坐标系Σoxyz中的位置 ;反过来： ;2.2.3 三个基本旋转矩阵和合成旋转矩阵 ;由图2-5可知， 在y轴上的投影为 ， 在z轴上的投影为 , 在y轴上的投影为 ， 在z轴上的投影为 ，所以有： ;同理： ; 合成旋转矩阵:;解2：用分步计算的方法 ; 上述计算方法非常繁琐，可以通过一系列计算得到上述结果。将式（2-14）（2-15）（2-16）联写为如下形式： ; 平移齐次变换矩阵;2.2.4 相对变换 ;解2：用计算的方法 ;解1：用画图的方法 ;式（2-20）和式（2-21）无论在形式上，还是在结果上都是一致的。因此我们有如下的结论： 动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2种情况： 定义1：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。 定义2：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。 ;右乘的意义：;2.2.5 绕通过原点??任意轴旋转的齐次变换 ;由上图容易求出：;带入式（2-25），得;2.2.6 齐次变换矩阵的几何意义 ;T反映了∑O′在∑O中的位置和姿态，即表示了该坐标系原点和各坐标轴单位矢量在固定坐标系中的位置和姿态。 该矩阵可以由4个子矩阵组成，写成如下形式：;如果需要求解∑O在∑O′中的位置和姿态，此时的齐次变换矩阵为 ，即求逆矩阵： ;2.2.7 透镜成像的齐次变换 ;因此，进行机器人运动学计算时，不能省略透视矩阵，有摄像头时，透视矩阵为 [0 - 0]，没有摄像头时为[0 0 0 ] 。 ;知识点： ;习题1： ∑O′与∑O初始重合，∑O′作如下运动：①绕Z轴转动30o ；②绕X轴转动60o ；③绕Y轴转动90o 。求T。 ;习题2： ∑O′与∑O初始重合，∑O′作如下运动：①绕X轴转动90o；②绕w轴转动90o；③绕Y轴转动90o。求① T；②改变旋转顺序，如何旋转才能获得相同的结果。 ;习题3： 矢量 在∑O′中表示为 ，∑O′相对于∑O的 奇次变换为： ;解：2） 机器人学数学基础;杜志江 科学园C1栋 机器人研究所512室25 研究方向：医疗机器人 智能移动机器人 参考教材： 付京逊《机器人学》 蔡自兴《机器人学》 理查德·鲍尔《机器人操作手·数学·编程与控制》 ;机器人运动学;引言  机器人位置和姿态的描述;运动学研究的问题;机器人示例;动画示例; 哈佛大学Roger Brockett建立的指数积公式 运动学 滚动接触 非完整控制 数学基础-刚体运动 参考文献：机器人操作的数学导论 作者：理查德·摩雷 李泽湘 夏卡恩·萨斯特里 翻译：徐卫良 钱瑞明（东南大学）;丹纳维特（Denavit）和哈顿伯格（Hartenberg） 于1955年提出了一种矩阵代数方法解决机器人的运动学问题—D-H方法 具有直观的几何意义 能表达动力学、计算机视觉和比