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离散数学二元关系和函数 第一页，共三十二页，2022年，8月28日 在高等数学中，函数是在实数集合上进行讨论的，其定义域是连续的。 本章把函数概念予以推广 ⑴定义域为一般的集合，支持离散应用。 ⑵把函数看作是一种特殊的关系：单值二元关系。 4.6函数的定义与性质 第二页，共三十二页，2022年，8月28日 函数定义 定义 设 F 为二元关系, 若 ?x∈domF 都存在唯一的y∈ranF 使 xFy 成立, 则称 F 为函数. 对于函数F, 如果有 xFy, 则记作 y=F(x), 并称 y 为 F 在 x 的函数值. 例1 F1={x1,y1,x2,y2,x3,y2}  F2={x1,y1,x1,y2} F1是函数, F2不是函数  4.6函数的定义与性质 第三页，共三十二页，2022年，8月28日 函数与关系的区别 从A到B的函数f与一般从A到B的二元关系R有如下区别： A的每一元素都必须是f的序偶的第一坐标，即dom(f)=A；但dom(R)?R 若f(x)=y，则函数f在x处的值是惟一的，即(f(x)=y)?(f(x)=z)?(y=z)，；但(xRy)?(xRz)得不到y=z 4.6函数的定义与性质 第四页，共三十二页，2022年，8月28日 例1 设A={1,2,3,4,5}，B={6,7,8,9,10}，分别确定下列各式中的f是否为由A到B的函数。 (1)f={(1,8),(3,9),(4,10),(2,6),(5,9)} (2)f={(1,9),(3,10),(2,6),(4,9)} (3)f={(1,7),(2,6),(4,5),(1,9),(5,10),(3,9)} 解 （1）能构成函数，因为符合函数的定义条件。 （2）不能构成函数，因为A中的元素5没有像，不满足像的存在性。 （3）不能构成函数，因为A中的元素1有两个像7和9，不满足像的惟一性。 4.6函数的定义与性质 第五页，共三十二页，2022年，8月28日 函数相等 定义 设F, G为函数, 则  F = G ? F?G∧G?F 一般使用下面两个条件： (1) domF = domG  (2) ?x∈domF = domG 都有 F(x) = G(x)  实例 函数 F(x)=(x2?1)/(x+1), G(x)=x?1 不相等, 因为 domF?domG. 4.6函数的定义与性质 第六页，共三十二页，2022年，8月28日 从A到B的函数 定义 设A, B为集合, 如果 f 为函数 domf = A ranf ? B, 则称 f 为从A到B的函数, 记作 f：A→B. 实例 f：N→N, f(x)=2x 是从 N 到 N 的函数 g：N→N, g(x)=2也是从 N 到 N 的函数 4.6函数的定义与性质 第七页，共三十二页，2022年，8月28日 B上A 定义 所有从 A 到 B 的函数的集合记作 BA, 读作“B上A”，符号化表示为  BA ={ f | f：A→B } 计数： |A|=m, |B|=n, 且m, n0, |BA|=nm. A=?, 则 BA=B?={?}. A≠?且B=?, 则 BA=?A= ?. 4.6函数的定义与性质 第八页，共三十二页，2022年，8月28日 实例 例2 设 A = {1, 2, 3}, B = {a, b}, 求BA. 解 BA = {f0, f1, … , f7}, 其中  f0={1,a,2,a,3,a}, f1={1,a,2,a,3,b}  f2={1,a,2,b,3,a}，f3={1,a,2,b,3,b}  f4={1,b,2,a,3,a}，f5={1,b,2,a,3,b}  f6={1,b,2,b,3,a}, f7={1,b,2,b,3,b}  4.6函数的定义与性质 第九页，共三十二页，2022年，8月28日 函数的像 定义 设函数 f：A→B, A1?A. A1 在 f 下的像： f(A1) = { f(x) | x∈A1 } 函数的像 f(A) = ranf 注意： 函数值 f(x)∈B, 而像 f(A1)?B. 例3 设 f：N→N, 且 令A={0,1}, B={2}, 那么有 f(A) = f