第七章--数值积分.ppt

定理7.1区间[a,b]上权函数为?(x)的具有n个节点的数值积分公式代数精度不超过2n-1次.取2n次多项式p(x)=(x-x1)2(x-x2)2…(x-xn)2,则有§5Gauss型求积公式§5.1Gauss型求积公式的一般理论证明若记x1,x2,…xn为求积节点,则积分公式为所以,求积公式的代数精度不超过2n-1.使求积公式具有2n-1次代数精度的节点x1,x2,…xn称为Gauss点,此时的插值型求积公式称为Gauss型求积公式.由例8可见,求积公式就是Gauss型求积公式,取区间[a,b]上权函数为?(x)的正交多项式pn(x)的n个零点x1,x2,…xn作为求积节点,用Newton插值余项有误差所以当?(x)是次数不超过2n-1的多项式时,R[?]=0.就是区间[-1,1]上权函数?(x)=1的Gauss点.下面用构造性方法给出Gauss点的求法.对区间[a,b]上权函数为?(x)的积分(2)求出pn(x)的n个零点x1,x2,…xn即为Gsuss点.由定理7.2可见,构造Gauss型求积公式的方法为:例12求积分定理7.2区间[a,b]上权函数为?(x)的正交多项式pn(x)的n个零点x1,x2,…xn恰为Gauss点.(1)求出区间[a,b]上权函数为?(x)的正交多项式pn(x).(3)计算积分系数的2点Gauss公式.解按Schemite正交化过程作出正交多项式:p0(x)=1.P2(x)的两个零点为故两点Gauss公式为积分系数为*第7章数值积分计算定积分有微积分基本公式但很多函数找不到原函数，如等。而实际上，有很多函数只知一些离散点的函数值，并无表达式，这就需要利用已知条件求出近似值。§1插值型求积公式若已知定积分的被积函数?(x)在节点a?x0x1…xn?b上的函数值yk=?(xk),k=0,1,2,…,n所以有设?(x)在[a,b]具有n+1阶连续导数,则有则可以构造n次Lagrange插值多项式Ln(x),因为?(x)=Ln(x)+Rn(x)其中(7.2)求积公式(7.1)称为求积公式的一般形式.若求积公式中积分系数Ak满足(7.2),则称之为插值型求积公式.为了简化计算,取等距节点xk=a+kh,(k=0,1,2,…,n,则有令则有称式(7.4)为Newton-Cotes公式.Ck(n)称为Cotes系数.例1设?(x)?C2[a,b],求n=1时的Newton-Cotes公式并估计误差.解计算Cotes系数于是有从几何上看:所以公式,则有误差估计若记oxyab也称为梯形公式,记为T.=T例2设?(x)?C4[a,b],求n=2时的Newton-Cotes公式并估计误差.解计算Cotes系数y=?(x)称之为Simpson公式或抛物线公式，记为S.构造三次多项式H3(x),使满足H3(a)=?(a),H3(b)=?(b),于是有容易证明Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立,即这时插值误差为=S.于是有若记则有由于构造Newton-Cotes公式需要Cotes系数,将其列表如下:12345678876543210kn例3求n=4的Newton-Cotes公式及误差.解