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专题03空间几何(解答题10种考法)
考法一平行
【例1-1】(2023春·河北邯郸)如图,在三棱柱中,G,O,H,M分别为DE,DF,AC,BC的中点,N为GC的中点.
??
(1)证明:平面ABED.
(2)证明:平面平面BCFE.
【答案】证明见解析
【解析】(1)证明:如图,连接BG.
∵M为BC的中点,N为GC的中点,∴.
∵平面ABED,平面ABED,∴平面ABED.
??
(2)∵G,O分别为DE,DF的中点,∴.
∵平面BCFE,平面BCFE,∴平面BCFE.
∵且,∴四边形OFCH是平行四边形,∴.
∵平面BCFE,平面BCFE,∴平面BCFE.
又,∴平面平面BCFE
【例1-2】(2023秋·云南)如图,四棱锥的底面为平行四边形.设平面与平面的交线为l,M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点.
??
(1)求证:平面平面;
(2)求证:.
【答案】证明见解析
【解析】(1)因为、、分别为、、的中点,底面为平行四边形,
所以,,
又平面,平面,
则平面,
同理平面,平面,
可得平面,
又,平面,
所以平面平面.
(2)因为,平面,平面,
所以平面,
又平面,平面平面,
所以.
【例1-3】(2023·青海)如图,在四棱锥A-BCDE中,底面BCDE为矩形,M为CD中点,连接BM,CE交于点F,G为△ABE的重心,证明:平面ABC
【答案】证明见解析
【解析】延长EG交AB于N,连接NC,
因为G为△ABE的重心,所以点N为AB的中点,且,
因为,故,所以,故,故,
而平面ABC,平面ABC,故平面ABC;
【例1-4】(2023·全国·统考高考真题)如图,在正四棱柱中,.点分别在棱,上,,证明:
??
【答案】证明见解析;
【解析】以为坐标原点,所在直线为轴建立空间直角坐标系,如图,
??
则,
,
,
又不在同一条直线上,
.
【例1-5】(2023·全国·高三专题练习)如图,在三棱锥中,,,为点在平面上的射影,为的中点.证明:平面.
??
【答案】证明见解析
【解析】在平面内,过点作于点,连接,,
??
∵,则,
又∵平面,平面,∴平面.
又∵平面,平面,平面,
∴,,
又∵,为公共边,∴,
∴,又∵为公共边,∴,
∴,为的中点,
又∵为的中点,∴为的中位线,,
又∵平面,平面,∴平面.
又∵,平面,平面,
∴平面平面,
又∵平面,∴平面.
【变式】
1.(2023春·浙江金华)在正方体中,分别是和的中点,求证
??
(1)
(2)平面.
(3)平面平面.
【答案】证明过程见解析
【解析】(1)连接,因为底面是正方形,且点是中点,
所以,即点也是中点,
又因为点是中点,所以由三角形中位线定理可得;
(2)由(1),因为平面,平面,所以平面;
(3)连接,因为分别是和的中点,所以由正方体的性质可知:,
所以四边形是平行四边形,所以有,而,
所以,因为平面,平面,
所以平面,而平面,所以平面平面.
??
2.(2023春·新疆省直辖县级单位)如图,已知平面ACD,平面ACD,为等边三角形,,F为CD的中点,求证:∥平面BCE.
【答案】证明见详解
【解析】因为平面ACD,平面ACD,则∥,
取的中点,连接,
因为分别为的中点,则∥,且,
由题意可得:∥,且,
则∥,且,则为平行四边形,
可得∥,
且平面BCE,平面BCE,
所以∥平面BCE.
??
3.(2022春·浙江温州)已知三棱锥中,,,为中点,为中点,在上,,求证:平面
??
【答案】证明见解析
【解析】连接并延长,交于点,取的中点,连接,
因为为中点,所以,,所以,
所以,又为中点,所以,
所以,因为,所以,
所以,可得,
因为平面,平面,所以平面;
??
4.(2022秋·吉林长春)如图,在正三棱柱中,,点在上,且,为中点,证明:平面
??
【答案】证明见解析
【解析】证明:如图所示,分别延长和交于点,设,
设,因为,可得,
由,可得,即,解得,
又因为为的中点,可得,所以,所以,
又由,所以四边形为平行四边形,所以为的中点,
设,因为四边形为矩形,所以为的中点,
在中,由三角形的中位线定理,可得,
又因为平面,平面,所以平面.??
考法二垂直
【例2-1】(2023秋·海南海口)已知三棱锥中,底面,,分别为,的中点,于.
??
(1)求证:平面;
(2)求证:平面平面.
【答案】证明见解析
【解析】(1)∵底面,底面,∴;
又,为的中点,
∴,
又∵平面,,
∴平面,平面,
∴,又,平面,,
∴平面;
(2)由平面知,;又分别为的中点,
∴是的中位线,∴,∴,即,
由平面可知,,,
为平面与平面的二面角,又,
∴平面平面.
【例2-2】(2022·河北石家庄·模拟预测)如图,在四棱锥中,,,,,点为的中点,且平面,求
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