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专题11计数原理(选填题10种考法)
考法一排队问题
【例1】(2023春·重庆沙坪坝)(多选)甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念,则(????).
A.甲、乙、丙站前排,丁、戊站后排,共有120种排法
B.5人站成一排,若甲、乙站一起且甲在乙的左边,共有24种排法
C.5人站成一排,甲不在两端,共有72种排法
D.5人站成一排,甲不在最左端,乙不在最右端,共有78种排法
【答案】BCD
【解析】对A:甲、乙、丙站前排,有种排法,丁、戌站后排,有种排法,
共有种排法,故A错误;
对B:甲、乙看作一个元素,则5人站成一排,
若甲、乙站一起且甲在乙的左边,共有种排法,故B正确;
对C:5人站成一排,甲不在两端,共有种排法,故C正确;
对D:5人站成一排,有种排法,
则甲在最左端,乙不在最右端,共有种排法;
甲不在最左端,乙在最右端,共有种排法;
甲在最左端,乙在最右端,共有种排法;
则甲不在最左端,乙不在最右端,共有种排法,故D正确.
故选:BCD.
【变式】
1.(2023秋·高二课时练习)(多选)把5件不同产品A,B,C,D,E摆成一排,则(????)
A.A与B相邻有48种摆法
B.A与C相邻有48种摆法
C.A,B相邻又A,C相邻,有12种摆法
D.A与B相邻,且A与C不相邻有24种摆法
【答案】ABC
【解析】对于A选项:产品A与B相邻,把作为一个元素有种方法,
而A,B可交换位置,所以有种摆法.故A选项符合题意.
对于B选项:同A选项一样分析可知产品A与C相邻也有48种摆法.故B选项符合题意.
对于C选项:当相邻又满足相邻,
首先将产品捆绑起来作为一个元素并把产品放在产品与之间,
注意到产品与可互换位置,所以首先排列有种摆法,
把组成的整体作为一个元素和剩下的两个元素进行排列,又有种摆法,
所以A,B相邻又A,C相邻,有种摆法.故C选项符合题意.
对于D选项:由A选项可知A与B相邻有48种摆法,
由C选项可知A,B相邻又A,C相邻有12种摆法,
因此A与B相邻,且A与C不相邻有种摆法.故D选项不符合题意.
故选:ABC.
2.(2023秋·河南郑州·高三校考开学考试)(多选)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加演出,下列说法中正确的是(????)
A.若甲不在正中间,则不同的排列方式共有96种
B.若甲、乙、丙三人互不相邻,则不同的排列方式共有6种
C.若甲、丙、丁从左到右的顺序一定,则不同的排列方式共有20种
D.若甲不在两端、丙和丁相邻,则不同的排列方式共有24种
【答案】ACD
【解析】对于选项A:因为甲不在正中间,则甲的不同的排列方式有种,
剩余的四人全排列,不同的排列方式有种,
所以不同的排列方式共有种,故A正确;
对于选项B:若甲、乙、丙三人互不相邻,则甲、乙、丙三人在首位、中间和末位,
则不同的排列方式有种,
剩余的2人全排列,不同的排列方式有种,
所以不同的排列方式共有种,故B错误;
对于选项C:若甲、丙、丁从左到右的顺序一定,则有四个间隔空位,
若乙、戊不相邻,把乙、戊安排四个间隔空位中,不同的排列方式共有种;
若乙、戊相邻,把两人看成整体安排四个间隔空位中,不同的排列方式共有种;
所以不同的排列方式共有种,故C正确;
对于选项D:若丙和丁相邻,不同的排列方式共有种,
若甲在两端、丙和丁相邻,则不同的排列方式共有种,
所以甲不在两端、丙和丁相邻,则不同的排列方式共有种,故D正确;
故选:ACD.
3.(2023春·河北石家庄)(多选)现将把椅子排成一排,位同学随机就座,则下列说法中正确的是(????)
A.个空位全都相邻的坐法有种
B.个空位中只有个相邻的坐法有种
C.个空位均不相邻的坐法有种
D.4个空位中至多有个相邻的坐法有种
【答案】AC
【解析】对于A,将四个空位当成一个整体,全部的坐法:种,故A对;
对于B,先排4个学生,然后将三个相邻的空位当成一个整体,和另一个空位插入由4个学生形成的5个空档中有种方法,所以一共有种,故B错;
对于C,先排4个学生,4个空位是一样的,然后将4个空位插入由4个学生形成的个空档中有种,所以一共有种,故C对;
对于D,至多有2个相邻即都不相邻或者有两个相邻,由C可知都不相邻的有120种,
空位两个两个相邻的有,空位只有两个相邻的有,
所以一共有种,故D错;
故选:AC
考法二排数问题
【例2】(2023春·江苏泰州)(多选)从1,2,3,4,6中任取若干数字组成新的数字,下列说法正确的有(????)
A.若数字可以重复,则可组成的三位数的个数为125
B.若数字可以重复,则可组成的四位数且为偶数的个数为375
C.若数字不能重复,则可组成的三位数的个数为70
D.若数字不能重复,则可组成的四位数且为偶数的个数为72
【答案】ABD
【解析
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