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第四节可测函数的收敛性（续）各种收敛定义叶果洛夫定理的证明对引理、叶果洛夫
定理及Lebesgue定理的证明的说明对引理、叶果洛夫定理及Lebesgue定理的证明的说明注：a.叶果洛夫定理的逆定理成立，无论mE<+∞或mE=+∞，注:b.叶果洛夫定理中条件mE<+∞不可少注：c.叶果洛夫定理中的
结论me<δ不能加强到me=0注：c.叶果洛夫定理中结论me<δ不能加强到me=0设fn(x)=xn,x∈(0,1）,则fn(x)处处收敛于f(x)=0，但fn(x)不一致收敛于f(x)，即使去掉任意一零测度集，在留下的集合上fn(x)仍不一致收敛于f(x)。依测度收敛
但处处不收敛依测度收敛
与点点收敛Riesz定理的证明依测度收敛的等价描述⒋依测度收敛的性质（唯一性和四则运算）
设{fn}与{gn}是E上几乎处处有限的可测函数列,
于E，于E,则于E条件mE<+∞对(3)来说不可少**第四章可测函数依测度收敛:去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛几乎一致收敛:去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛几乎处处收敛:几乎处处收敛与几乎一致收敛（叶果洛夫定理）引理：设mE<+∞，fn，f在E上几乎处处有限且可测，设mE<+∞，fn，f在E上几乎处处有限且可测，（Lebesgue定理）设mE<+∞，fn，f在E上几乎处处有限且可测，引理：mE<+∞对引理、叶果洛夫
定理及Lebesgue定理的证明的说明Lebesgue定理的证明叶果洛夫定理的证明Lebesgue定理的证明叶果洛夫定理的证明引理：mE<+∞下证明由(3)推出(2)Lebesgue定理的证明叶果洛夫定理的证明引理：mE<+∞下证明由(4)推出(3)注：叶果洛夫定理的逆定理成立几乎一致收敛:去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛几乎处处收敛:去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛另外显然fn(x)在上点点收敛于f(x)所以fn(x)在E上a.e.收敛于f(x)证明：由条件知,存在可测集使且fn(x)在En上一致收敛于f(x)，当然fn(x)在En上点点收敛于f(x)叶果洛夫定理的逆定理不几乎一致收敛:去掉任意小（适当小）测度集，在留下的集合上任不一致收敛几乎一致收敛:去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛n例在R+上处处收敛于f(x)=1,但fn不几乎一致收敛于f于R+
1-δ去掉一小测度集合(1-δ,1),在留下的集合上一致收敛，但去掉任意零测度集，在留下的集合上仍不一致收敛。例：函数列fn(x)=xnn=1,2,…,在(0,1)上处处收敛到f(x)=0,但不一致收敛；说明：去掉任意一个零测度集e，留下的集合(0,1)-e仍然以1为聚点从而可找到E-e中一点列{xn},使得收敛到1，故：从而E-e上fn(x)不一致收敛于f(x)叶果洛夫定理mE<+∞Lebesgue定理mE<+∞叶果洛夫逆定理收敛间的关系01f1f601/4?3/4101/4?3/4101/4?3/4101/4?3/41f7f5f40?1f30?1f201/81/4?1010?101/4?3/4101/81/4?1叶果洛夫定理mE<+∞Lebesgue定理mE<+∞叶果洛夫逆定理
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