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一元二次方程的概念和解法专项练习
一、课标导航
课标内容
课标要求
目标层次
一元二次方程的概念
了解一元二次方程的概念,会将一元二次方程化为一般形式,并指出各项系数
★
了解一元二次方程的根的意义
★
能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围
★★
会由方程的根求方程中待定系数的值
★★
一元二次方程的解法
理解配方法,会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程,理解各种解法的依据
★
能选择恰当的方法解一元二次方程
★★
会用配方法对代数式作简单的变形
会解可化为一元二次方程的方程或方程组
二、核心纲要
1.一元二次方程的概念
(1)一元二次方程:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.
(2)一元二次方程的一般形式:(ax2+bx+c=0(a,b,c是常数,a≠0),a为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项.
注意:对于关于x的方程ax2+bx+c=0,当a≠0时,方程是一元二次方程;当a=0且b≠0时,方程是一元一次方程.
2.一元二次方程的解法
(1)直接开平方法
①x2=aa≥0可得:.
②x+a2=bb≥0
③ax+b2=cc≥0
④ax+b2=cx+d2|a|≠|c|
(2)配方法:解形如ax2+bx+c=0(a,b,c是常数,a≠0)的一元二次方程.
运用配方法解一元二次方程的一般步骤是:
①二次项系数化1;②常数项右移;③配方(两边同时加上一次项系数一半的平方);
④化成(x+m2=n的形式;⑤若n≥0,选用直接开平方法得出方程的根
注:若二次函数系数为1,一次项系数为偶数,通常考虑用配方法解方程.
(3)公式法
运用公式法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数,a≠0)的一般步骤是:
①把方程化为一般形式;②确定a、b、c的值;③计算(b2-4ac的值;
④若b2-4ac≥0,,则代入公式求方程的根;⑤若(b2-4ac0,则方程无实数根.
(4)因式分解法:适用于方程一边是零,另一边是一个易于因式分解的多项式.
注:若b2-4ac为完全平方数(或式),用十字相乘法解方程比较简单.
3.一元二次方程解法的灵活运用
直接开方法,配方法,公式法,因式分解法.在具体解题时,应当根据题目的特点选择适当的解法.
(1)因式分解法:适用于右边为0(或可化为0),而左边易分解为两个一次因式积的方程,缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便,它是一种最常用的方法.
(2)公式法:适用于任何形式的一元二次方程,但必须先将方程化为一般形式,并计算b2-4ac的值.
(3)直接开平方法:用于缺少一次项以及形如ax2=b或x+a2=bb≥0或ax+b
(4)配方法:配方法是解一元二次方程的基本方法,而公式是由配方法演绎得到的.把一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)转化为它的简单形式(x+m2=n,这种转化方法就是配方
4.解可化为一元二次方程的方程或方程组
(1)解方程组:通常采用消元或换元进行变形.
(2)解分式方程:通常采用去分母或换元进行变形.
(3)解高次方程:通常采用因式分解或换元进行变形.
本节重点讲解:一个定义,四种解法,一个思想(转化)
三、全能突破
基础演练
1.下列方程中,关于x的一元二次方程是().
A.3x+12=2x+1
C.ax2+bx+c=0D.x2+2x=x2-1
2.方程x2=0的根的个数是().
A.1个B.2个C.0个D.以上答案都不对
3.已知x=3是关于x的方程43x2-2a+1=0
A.11B.12C.13D.14
4.方程(m+2x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程,则m的值为
5.用直接开平方法解下列关于x的一元二次方程:
(1)2x2-8=0;(2)25-16x2=0;(3)(1-x)2-9=0;(4)9(x-1)2=16(x+2)2.
6.用配方法解下列关于x的一元二次方程:
1x2+12x=9964;
7.用因式分解法解下列关于x的一元二次方程:
1x2-25=0;
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