5.4 正余弦定理（精讲）（原卷版）.docx

5.4正余弦定理（精讲）

一．正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

定理

正弦定理

余弦定理

内容

eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R

a2＝b2＋c2－2bccos_A；

b2＝c2＋a2－2cacos_B；

c2＝a2＋b2－2abcos_C

变形

边化角：a＝2RsinAb＝2RsinBc＝2RsinC

角化边：sinA＝eq\f(a,2R)sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；

a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC

eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA)

cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；

cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；

cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)

二．三角形常用面积公式

1.S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)．

2.S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsin_B＝eq\f(1,2)bcsin_A．

3.S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．

三．三角形解的判断

A为锐角

A为钝角

或直角

图形

关系式

a＝bsinA

bsinAab

a≥b

ab

解的个数

一解

两解

一解

一解

四．三角形中的射影定理

在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．

五．盘点易错易混

1．利用正弦定理进行边角互换时，齐次才能约去2R

2.三角形中的大角对大边：在△ABC中，A＞B?a＞b?sinA＞sin B．

3．判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．

一．正、余弦定理的选用

1.正弦定理：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；

2.余弦定理：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．

二．求解三角形面积问题

1.若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．

2.若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．

三．选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：

1.若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；

2.若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；

3.若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；

4.代数式变形或者三角恒等变换前置；

5.含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；

6.同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.

考法一常见的边角互换模型

【例1-1】（2023春·湖南）在中，内角的对边分别为，且满足，若，则外接圆的半径长为（????）

A． B．1 C． D．

【例1-2】（2023·全国·统考高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（????）

A． B． C． D．

【例1-3】（2022·安徽马鞍山·一模）已知的内角的对边分别为，设，，则（???????）

A． B． C． D．

【例1-4】（2022·重庆）在中，，，分别是角，，的对边，记外接圆半径为，且，则角的大小为________．

【一隅三反】

1．（2023春·广东茂名·高三统考阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则A＝（????）

A． B． C． D．

2．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则c＝（????）

A．4 B．6 C． D．

3．（2023春·福建南平）（多选）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，且，则（????）

A． B．

C． D．

4．（2023·四川）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则A=（???????）

A． B． C． D．

考法二三角形的周长与面积

【例2-1】（2023·广东）在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则的面积为______.

【例2-2】（2023·山东青岛·统考三模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

(1)求角B；

(2)若c＝3a，D为AC中点，，求的周长．

【一隅三反】

1．（2023·重庆·统考模拟预测）我国南宋著名数学